Log Linearización de la demanda CES

Question

He tratado de linealizar la función de demanda que se deriva de un problema estándar de maximización de la utilidad CES de dos bienes. Es decir:

Maximizar \begin{eqnarray} U(h,c)= \left(G_1^{\rho}+ G_2^{\rho} \right)^{1/\rho} \end{eqnarray} Sujeto a: \begin{eqnarray} Y = G_1 + pG_2 \end{eqnarray}
Donde he normalizado el precio del primer bien a 1. De esta maximización se deduce que la demanda del bien 2 puede escribirse como \begin{eqnarray}\label{VAR} G_2 = \frac{ p^{\frac{1}{\rho-1}}Y}{ 1 + p^ {\frac{\rho}{\rho-1}} } \end{eqnarray} Cuando trato de log-linealizar esta ecuación no estoy seguro de cómo trabajar con el denominador. Hasta ahora, tengo esto:

\begin{eqnarray} \ln G_2 = \frac{1}{\rho-1} \ln p+ \ln y - \ln { (1 + p^ {\frac{\rho}{\rho-1}}) } \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \ln G_2^* +\frac{1}{G_2^*}(G_2-G_2^*) = \frac{1}{\rho-1} \ln p^* +\frac{\frac{1}{\rho-1}}{p^*}(p-p^*) + \ln y^* +\frac{1}{y^*}(y-y^*) - ??? \end{eqnarray} Sin embargo, no consigo log-linealizar el último término con el sumatorio y el exponente. Intenté encontrar linealizaciones logarítmicas similares en Internet, pero sólo pude encontrar documentos que linealizan logarítmicamente la función de producción de una función CES, lo cual no fue útil para mi problema.

Answer 1

Esta es mi suposición.

Utilicemos la notación $$ \tilde x_t \approx \ln(x_t) - \ln(x) \approx \dfrac{x_t - x}{x}. $$ Si tomamos los registros de ambos lados obtenemos: $$ \ln(G_t) = \frac{1}{1 -\rho} \ln(p_t) + \ln(y_t) - \ln(1 + p_t^{\frac{\rho}{\rho-1}}) $$ Restando el estado estacionario se obtiene: $$ \tilde G_t = \frac{1}{1 - \rho} \tilde p_t + \tilde y_t - \left[\ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) - \ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}})\right] $$

Tomando una expansión de Taylor del último término se obtiene: $$ \begin{align*} \ln(1 + p_t^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) - \ln(1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}) &\approx \frac{1}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}}\frac{\rho}{\rho - 1}p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}\frac{(p_t- p)}{p},\\ &\approx \frac{p^{\frac{\rho}{\rho- 1}}}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}} \frac{\rho}{\rho - 1} \tilde p_t \end{align*} $$ Así que tenemos: $$ \tilde G_t \approx \left(\frac{1}{1 - \rho}- \frac{p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}}{1 + p^{\frac{\rho}{\rho - 1}}} \frac{\rho}{\rho - 1} \right) \tilde p_t + \tilde y_t,\\ = \left(\frac{1}{1 - \rho}- \frac{G}{Y} \frac{\rho}{\rho - 1} \right) \tilde p_t + \tilde y_t,\ $$