¿Por qué la delta de la opción Call no es estocástica o variable aleatoria?

Question

La delta de una opción se define como la relación entre la variación del precio de la opción de compra y la variación del precio de los valores subyacentes . Si, $c_t$ es el precio de la opción de compra en el momento $t$ y $S_t$ es el precio de los valores subyacentes, entonces el delta de la opción de compra es:

$$\Delta(t)=\frac{\partial c_t}{\partial S_t}$$

Si cambio en $dS_t$ es decir, $(S_{t+dt} -S_t)$ es aleatorio que por definición es verdadera, entonces delta ( $\Delta (t)$ calculado en el momento t) debe ser una variable aleatoria (en lugar de una constante conocida) ya que implica $dS_t$ en el denominador. Pero bajo la Modelo Black-Scholes el delta de la opción europea de compra (que se escribe como $N(d_1)$ o $\Phi (d_2)$ ) es una variable determinista (es decir, conocida con certeza) en el momento $t$ .

Quiero saber por qué el delta de una opción de compra es una cantidad determinista, ¿por qué no es una variable aleatoria? Si es posible, facilite tanto el razonamiento lógico como la derivación formal.

Answer 1

Tenga en cuenta que, en el momento $t$ , \begin{align*} d_1(t) = \frac{\ln \frac{S_t}{K} + (r+\frac{\sigma^2}{2}) (T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \end{align*} que es una función de $S_t$ y entonces, es una cantidad aleatoria. En consecuencia, el delta $N(d_1(t))$ también es una cantidad aleatoria.

Tenga en cuenta que, en el momento $t$ , $N(d_1(t))$ es conocido. Sin embargo, $\{N(d_1(t)) \mid t \ge 0\}$ es un proceso estocástico adaptado a la filtración del proceso de equidad $\{S_t \mid t \ge 0\}$ Es decir, $\mathcal{F}_t$ .

Answer 2

Dado que se trata de la variación del valor de la opción de compra en relación con la variación del valor del precio de las acciones, se observa la pendiente simple de la función. No necesitamos saber cuánto cambiará el precio de las acciones para estimar la pendiente.

En ausencia de gamma, el precio de las acciones podría cambiar un 2% o un 1% y esto no cambiaría la delta. Digamos que tenemos una ecuación simple, y = mx + b. m es el impacto que un cambio en x tiene en el cambio en y, que es la misma idea detrás de delta. Si sabemos cómo responde y a los cambios en x, podemos definir m de forma determinista y no es una variable aleatoria.