No convergencia en Monte Carlo

Question

Tratando de implementar alguna simulación monte carlo por primera vez. Para el modelo sabr ( http://www.javaquant.net/papers/managing_smile_risk.pdf ), ¿funcionaría esto?

Aquí, a = volatilidad de la volatilidad, y s = volatilidad, y r = correlación de los procesos wiener.

Si está bien, ¿por qué no produce los mismos resultados que la fórmula SABR?

Lo que hago es que simulo S_T, luego calculo max(S_T - K,0) para cada simulación, y luego calculo el promedio. Para algunas elecciones de parámetros, obtengo lo mismo que SABR, pero para otras, obtengo el número incorrecto, incluso si aumento la muestra y los pasos de tiempo.

¿Entonces mi código está mal? ¿Está mal la fórmula SABR? ¿Qué técnica produce resultados correctos?

Answer 1

Puedo ver dos problemas potenciales aquí:

Esquema de discretización

En primer lugar, debe considerar diferentes esquemas de simulación. En el caso especial de la volatilidad constante ( $\alpha = 0$ ), el modelo SABR se reduce al modelo CEV. Se ha demostrado que el esquema básico de Euler que se emplea para el proceso spot presenta un sesgo significativo para este proceso. Véase Lord (2014) y Chen et al. (2011) para una discusión en profundidad y comparación de esquemas de simulación más avanzados.

"Fórmula SABR"

Supongo que se refiere a la expansión de segundo orden en la ecuación (2.17) de Hagan et. al (2002) como la "fórmula SABR". Como su nombre indica, se trata sólo de una aproximación para la volatilidad implícita. Además, se sabe que no está libre de arbitraje (por ejemplo, para los strikes muy bajos).

Referencias

Lord, Roger (2014) "Fifty Shades of SABR Simulation", 10ª Conferencia de Renta Fija, Barcelona, disponible. aquí

Chen, Bin, Cornelis W. Oosterlee y Hans van der Weide (2011) "Efficient Unbiased Simulation Scheme for the SABR Stochastic Volatility Model", Documento de trabajo, TU Delft, disponible. aquí

Hagan, Patrick S, Deep Kumar, Andrew S. Lesniewski y Diana E. Woodward (2002) "Managing Smile Risk", Wilmott Magazine

Answer 2

La fórmula del SABR es errónea. Hay un conjunto de documentos que comienza con una solución para la distribución que debe estar presente para todas las clases de activos y un documento para verificar la distribución presente. Proporciona una razón matemática para el documento de Mandelbrot de 1963, Sobre la variación de ciertos precios especulativos .

La dificultad de un método bayesiano es que, si el modelo es erróneo, se aplana y entonces tardará mucho más en converger. La distribución de los rendimientos de una acción que es un negocio en marcha es $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2}$$ en un mundo sin problemas de liquidez.

Esta cifra se multiplicaría por un ajuste del diferencial entre oferta y demanda o por la probabilidad de que se produzca una operación si se cumple la restricción presupuestaria de la contraparte.

El gran problema aquí es que $\gamma$ no satisface la definición de varianza. Si se intenta resolver la integral para el primer o segundo momento, ésta diverge. Este es el origen de las colas pesadas. La lógica es que un rendimiento es un valor futuro dividido por un valor presente menos uno. Ignorando el componente menos uno, ya que es sólo una traslación, esto implica que un rendimiento es una distribución de razón. En circunstancias adecuadas, la distribución anterior sería esa distribución de proporción.

Si lo hicieras como una multiplicación en su lugar, es decir $p_{t+1}=\beta{p_t}+\epsilon_{t+1}$ entonces por una prueba de White en 1958 los residuos divergen irremediablemente y no hay solución no bayesiana como resultado. La solución bayesiana es $$\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2}.$$ Esto tampoco tiene momentos.

Si está asociado a un estadístico, puede comprobarlo. También puede verificarlo en http://mathworld.wolfram.com/RatioDistribution.html y en http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html