Hola, tengo algunas preguntas sobre volatilidad estocástica para los procesos de Levy . Si entiendo bien, si cambiamos el tiempo en el proceso de Levy por el proceso CIR, el nuevo proceso recibido ya no es el proceso de Levy? Modelamos el precio de las acciones como $$S(t)=S(0)\frac{\exp((r-q)t+Z(t))}{E[\exp(Z(t))]}$$ donde $Z(t)$ es un proceso estocástico de volatilidad ,,Levy'' (?). En este artículo está escrito que este proceso no es una martingala. Entonces, ¿por qué lo utilizamos para la fijación de precios? ¿Puede alguien explicarme esto de la forma más sencilla posible?
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VGSV, NIGSV y CGMYSV
Dejemos que $X_t$ ser un proceso gamma de varianza (o NIG o CGMY) y que $Y_t=\int_0^t y_s\mathrm{d}s$ donde $y_s$ es un CIR ( Heston ) proceso de root cuadrada. A continuación, establecemos $$Z_t=X_{Y_t},$$ lo que significa que primero subordinamos un movimiento browniano con deriva con un proceso gamma (para obtener el proceso VG $X_t$ ) y, a continuación, de nuevo subordinado con un proceso integrado de CIR, $Y_t$ . La semimartingala $Z_t$ se denomina VGSV/NIGSV/CGMYSV (donde SV significa volatilidad estocástica) o, en general, procesos estocásticos de volatilidad Lévy (SVLP) . Obsérvese que mientras un movimiento browniano y un proceso gamma tienen incrementos independientes y estacionarios, ninguno de los dos $y_s$ ni $Y_t$ son procesos de Lévy propiamente dichos ( $y_s$ media-reversa). Sin embargo, $Y_t$ es obviamente no negativo y no decreciente y, por tanto, un subordinador válido. El proceso CIR puede interpretarse como la tasa instantánea del cambio de tiempo. Carr et al. (2003) muestran que $$\varphi_{Z_t}(u)=\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(u)\right).$$ El exponente característico de un proceso VG (o NIG o CGMY), $\Psi_{X_t}$ es conocida, mientras que la función característica de $Y_t$ también puede obtenerse fácilmente en forma cerrada (se indica en el documento debajo de la ecuación (3.2)).
Es importante, como usted dice, que el proceso $Z_t$ ya no tiene incrementos independientes. Por lo tanto, no es un proceso de Lévy pero puede modelar grupos de volatilidad. Recordemos que los procesos de Lévy estándar (relojes aleatorios) se obtienen por subordinación (tiempo de calendario frente a tiempo comercial) y modelan una rica estructura de saltos. Sin embargo, no incorporan elementos de volatilidad estocástica.
VGSA, NIGSA y CGMYSA
Carr et al. (2003) sugieren dos formas de construir un modelo de precios de acciones basado en $Z_t$ . Te refieres a la primera que es `` superior en [su] capacidad de captar el contenido informativo de la superficie de la opción ''. Establecer $$S_t=S_0\frac{e^{(r-q)t+Z_t}}{\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{Z_t}]},$$ donde $r$ y $q$ son la tasa de rendimiento libre de riesgo y la rentabilidad de los dividendos, respectivamente. Entonces, \begin{align*} \varphi_{\ln(S_t)}^\mathbb{Q} &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{iu\ln(S_t)}] \\ &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{iu\ln(S_0e^{(r-q)t})}e^{iuZ_t}e^{-iu\ln(\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{Z_t}])}] \\ &= e^{iu\ln(S_0e^{(r-q)t})}\frac{\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(u)\right)}{\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(-i)\right)^{iu}}. \end{align*} Recuerda que $\Psi_{X_t}$ y $\varphi_{Y_t}$ son conocidos. El proceso exponencial del precio de las acciones $S_t$ se llama VGSA/NIGSA/CGMYSA. Además de $r$ , $q$ y los tres parámetros del proceso VG, el proceso VGSA depende además de tres parámetros CIR. La sección 7 del documento muestra cómo introducir adicionalmente el apalancamiento (correlación negativa entre los rendimientos y la volatilidad) como otro parámetro más. El efecto de apalancamiento es un importante hecho empírico estilizado.
Arbitraje y martingala
Porque $Z_t$ no es un proceso de Lévy, no es trivial cómo asegurar que $e^{-rt}S_t$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale. Por lo tanto, nuestro enfoque clásico de fijación de precios de martingala (neutral al riesgo) no se aplica directamente en su entorno. Por eso introducen la noción de marginales de martingala . En particular, querrá leer la sección 4.1 de su documento. Demuestran, por ejemplo, que (si no hay arbitraje estático) las densidades neutrales al riesgo satisfacen esta propiedad marginal martingala. En particular, la propiedad marginal de martingala es un concepto más fundamental que la fijación de precios mediante una medida de martingala equivalente (que requiere la ausencia de estrategias de arbitraje tanto estáticas como dinámicas). Proporcionan un ejemplo sencillo de árbol binomial de dos pasos en el que no existe una medida de martingala equivalente, pero se cumple la propiedad marginal de martingala.
Carr et al. (2003) describen una segunda forma de construir los precios de las acciones que se aseguran de ser martingales después del descuento (denominados VGSAM, NIGSAM y CGMYSAM), pero se comportan peor en el ajuste de los datos de opciones observados. Los procesos más conservadores que hemos construido anteriormente (VGSA, NIGSA y CGMYSA) no permiten el arbitraje estático y satisfacen la Propiedad marginal de Lévy (LM) si el CIR procesado se utiliza en su construcción, $y_s$ comienza en cero (Teorema 5.1). En la sección 8, los autores ilustran cómo aplicar la fórmula de fijación de precios de las opciones por transformada rápida de Fourier (FFT) de Carr y Madan (1999) en su entorno.
