Ecuación de Black Scholes a Heat

Question

La ecuación (2) se obtuvo fijando r=0 en la ecuación de Black-Scholes para el modelo de Bachelier (1).

¿Puede alguien ayudarme a entender todos los pasos para llegar de la ecuación del calor bajo la inversión del tiempo (2) a (3) y luego mostrarme cómo verificar que la ecuación sigue siendo válida? No puedo entender lo que exactamente usando $\eta$ logra. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $n=\sigma^2(T-t)$

$$dn=-\sigma^2dt$$

$\frac{\partial {V}}{\partial {t}} = \frac{\partial {V}}{\partial {n}}\frac{d {n}}{d {t}}$

$\frac{\partial {V}}{\partial {t}} = -\sigma^2\frac{\partial {V}}{\partial {n}}$

desde $$\frac{\partial {V}}{\partial {t}} = -\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 {V}}{\partial {S^2}} $$

así que

$$-\sigma^2\frac{\partial {V}}{\partial {n}} = -\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 {V}}{\partial {S^2}} $$

$$\frac{\partial {V}}{\partial {n}} -\frac{1}{2}\frac{\partial^2 {V}}{\partial {S^2}} =0$$