Problema de optimización con condiciones de Kuhn-Tucker

Question

Consideremos un juego con dos jugadores en el que cada uno de ellos $i=1,2$ tiene preferencias $u_i=s_i^a c_i^{1a}$ , donde $c_i$ es el consumo y $s_i$ es la interacción social. $s_i$ viene dada por $s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji}$ , donde $t_i$ es el tiempo empleado por el jugador $i$ solo y $t_{ij}$ es el jugador de tiempo $i$ gasta con el jugador $j$ . Jugador $i$ tiene que decidir cuánto de su tiempo $T$ para repartir entre el trabajo, tener tiempo a solas, $t_i$ y la interacción social $t_{ij}$ . Supongamos que para cada hora, el jugador $i$ trabaja, que gana el salario $w$ y asumir que el precio del bien de consumo $c_i$ se normaliza a $p=1$ .

Defina cuidadosamente el problema de optimización para el jugador 1. Escriba las condiciones de Kuhn-Tucker y discuta estas condiciones. Explique por qué el jugador 1 se enfrenta a una situación estratégica. Encuentre las funciones de mejor respuesta para el jugador 1 y 2. Grafique estas funciones.

Mi solución :

$L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T)$

FOC:

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0$

$\frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0 $

Siguiendo este procedimiento, no puedo llegar a la solución. Por favor, comparta sus ideas conmigo.

Resolviendo eso obtengo :

Answer 1

Jugador $1$ El problema de maximización de la utilidad de la empresa es el siguiente:

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a}$$

Una forma equivalente de resolver el problema anterior es maximizar el $\log$ del objetivo, es decir, se puede resolver

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right) $$

Resolviéndola obtenemos la función de mejor respuesta del jugador 1 como

\begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}

Asimismo, la mejor función de respuesta del jugador 2 es

\begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}

Ahora puedes resolver las mejores respuestas para obtener los Equilibrios de Nash.