Supongamos que me pregunto si se producirá un acontecimiento (por ejemplo, si lloverá mañana en un lugar determinado). Supongamos que mis creencias sobre si el acontecimiento se producirá pueden representarse mediante una probabilidad $p_t \in [0, 1]$ y que sé que puedo recibir nueva información al respecto en periodo $t + 1$ . Después de recibir esta nueva información, me formaré una nueva creencia $p_{t+1} \in [0, 1]$ utilizando la regla de Bayes.
Tengo entendido que, bajo ciertos supuestos, $$ \mathbb{E}[p_{t+1}] = p_t $$ Es decir, mis creencias deben ser una martingala. La idea intuitiva es bastante clara: si espero que mi creencia suba mañana, ¡entonces mi creencia ya debería subir hoy! Sin embargo, no tengo muy claro cuándo debería ser así, y agradecería una explicación o algunos enlaces útiles.
Para ser un poco más concreto, hay algunas cosas que me confunden:
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En este documento de aspecto útil leo que "el valor esperado de la posterior es sólo el anterior". Supongo que esto es una versión generalizada de la afirmación que estoy discutiendo aquí? (Generalizada porque permite cualquier número de estados, no sólo dos estados como en mi pregunta).
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No parece que este resultado pueda ser cierto en general. Por ejemplo, supongamos que, sin saberlo, alguien quiere hacerme cambiar de opinión. Si Si creo que es improbable que ocurra el evento, me proporcionarán pruebas que sugieran que es probable que ocurra; y si creo que que es probable que ocurra, me proporcionarán pruebas que sugieran que probablemente no ocurra. En este caso, parece que la creencia es no una martingala; más bien, se puede esperar que se mueva hacia $0.5$ en el siguiente periodo. Si esto es correcto, ¿qué supuesto se violado aquí? [Nota: para que este ejemplo sea interesante, creo que es importante que no sepa que el `proceso de generación de datos' adopta la forma perversa esbozada anteriormente].
Muchas gracias de antemano por cualquier idea, referencia, etc.
