¿Cómo comparar inversiones con diferente riesgo y rendimiento esperado?

Question

Suponiendo que puedo elegir invertir dinero en varias inversiones diferentes, cada una de las cuales tiene

• riesgo $\sigma_i$ , por ejemplo, calculado como desviación estándar
• y el rendimiento esperado $r_i$
• supongamos que tienen la misma duración y la misma inversión inicial para simplificar las cosas

Por ejemplo, si $\sigma_1 = \sigma_2$ Puedo elegir fácilmente aquella para la que $r_i$ es mayor. si por ejemplo $\sigma_1 = 1.1\sigma_2$ y $r_1 = 2r_2$ , razonablemente $r_1$ es mejor. A partir de lo anterior, podría decidir escoger la inversión por la que $\frac{r_i}{\sigma_i}$ es mayor. Pero esto es sólo empírico y arbitrario. ¿Es bueno este método? ¿Hay alguna forma más rigurosa de elegir entre las inversiones?

Answer 1

El equilibrio entre el riesgo y la rentabilidad esperada depende de sus propias preferencias.

Suponga que es un maximizador de la utilidad esperada y deje que la rentabilidad de la inversión venga dada por la variable aleatoria $X$ . Su utilidad viene dada por. $$ \mathbb{E}(u(X)) $$

Dejemos que $\mu$ sea la media de $X$ y que $\sigma^2$ sea la varianza de $X$ entonces tomando una expansión de Taylor de $u(x)$ alrededor de $u(\mu)$ da: $$ u(x) \approx u(\mu) + u'(\mu)(x - \mu) + \frac{u''(\mu)}{2}(x - \mu)^2 $$ Tomar las expectativas de ambas partes da: $$ \begin{align*} \mathbb{E}(u(X)) &\approx u(\mu) + u'(\mu)(\mu - \mu) + \frac{u''(\mu)}{2}\sigma^2,\\ &= u(\mu) + \frac{u''(\mu)}{2} \sigma^2.\\ \end{align*} $$

Por tanto, cuanto mayor sea la curvatura de $u$ (el más negativo $u''(\mu)$ ) más negativo será el segundo término. Intuitivamente, la curvatura mide el grado de aversión a la incertidumbre.

Obsérvese que esta aproximación sólo será buena cuando $X$ no se desvía demasiado de la media, por lo que la expansión de Taylor es buena.

También se puede tomar una aproximación de Taylor alrededor de cero. Esto da: $$ \begin{align*} u(x) \approx u(0) + u'(0) x + \frac{u''(0)}{2} x^2,\\ \end{align*} $$ Así que: $$ \mathbb{E}(u(X)) \approx u(0) + u'(0) \mu + \frac{u''(0)}{2} (\sigma^2 + \mu^2) $$

Véase también el documento de Levy y Markowitz (1979), "Approximating Expected Utility by a Function of Mean and Variance", American economic review, 69, 308-317 .