Simular el movimiento browniano geométrico a la deriva bajo una nueva medida

Question

Tengo una pregunta muy fundamental sobre la simulación del movimiento browniano geométrico DRIFTED.

Tenemos el modelo estándar de Blackos Scholes:

$dS(t)=r S(t)dt+\sigma S(t) dW^{\mathbb{P}}(t)$ , donde $W^{\mathbb{P}}(t)$ es el proceso estándar de Wiener bajo la medida de probabilidad $\mathbb{P}$ .

Si queremos simular esto, utilizando la constante $\Delta t$ utilizamos la fórmula recursiva:

$S_{t+1}=S_te^{(r-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t} Z_t }$ , donde $Z_t \sim N(0,1)$ .

Ahora supongamos que queremos cambiar la deriva de tal manera que:

$W^{\mathbb{Q}}(t) = W^{\mathbb{P}}(t) - \int_0^t \theta_s ds$ es un movimiento browniano bajo $\mathbb{Q}$ tal que:

$dS(t)=(r + \sigma \theta )S(t)dt+\sigma S(t) dW^{\mathbb{Q}}(t)$

Ahora es cuando me siento inseguro. Si quiero simular el proceso de deriva, ¿es justo utilizar el método similar como:

$S_{t+1}=S_te^{(r+\sigma \theta-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+\sigma \sqrt{\Delta t} Z_t }$ , donde $Z_t \sim N(0,1)$ .

O es que tengo que usar $Z_t \sim N(\theta, 1)$ ?

No soy tan fuerte en la parte de cambio de medida, por eso estoy un poco inseguro. Agradecería la ayuda.

Gracias

Answer 1

En la nueva medida, la acción ha derivado $r + \sigma \theta$ así que sí se procede con esa deriva como dices. Si $\theta$ depende del tiempo, se complica.

Answer 2

Tenga en cuenta que, bajo la medida $Q$ la dinámica es de la forma \begin{align*} dS_t = S_t \big[(r+ \sigma \theta_t) dt + \sigma dW_t^Q \big]. \end{align*} Entonces, para $\Delta>0$ suficientemente pequeño, \begin{align*} S_{t+\Delta} &= S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta + \sigma \int_t^{t+\Delta} \theta_s ds + \sigma \left(W_{t+\Delta}^Q-W_t^Q\right)}\\ &\approx S_te^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2 + \sigma \theta_t\right)\Delta + \sigma \sqrt{\Delta} Z}, \end{align*} asumiendo que $\theta_t$ es continua, donde $Z\sim N(0, 1)$ .