En cuanto al punto de partida y los supuestos del modelo de regresión lineal

Question

Así es como entiendo el modelo de regresión lineal con un solo regresor: Suponemos que la función de regresión de la población tiene la forma de $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$ . Además, para que los parámetros tengan significado de causalidad, suponemos que:

1. $E(u_i|X_i)=0$
2. $(X_i,Y_i)$ son i.i.d. para $i=1,...,n$
3. Los grandes valores atípicos son poco probables

Mi primera pregunta es sobre el primer supuesto. Ésta, combinada con la suposición de que $Y=\beta_0+\beta_1X$ , da $E(Y|X)=\beta_0+\beta_1X$ . ¿Pero no es esta ecuación el punto de partida de nuestro análisis de regresión? Si no es así, ¿qué intentamos captar en primer lugar?
Parece que o bien $E(u_i|X_i)=0$ o $E(Y|X)=\beta_0+\beta_1X$ combinado con la suposición de que $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$ implica la otra. ¿Qué es lo primero?

Mi segunda pregunta es sobre la expectativa de $u$ . ¿Suponemos que $E(u_i)=0$ ¿o está implícito en otros supuestos? Porque en la Introducción a la Econometría de Wooldridge, es un supuesto, pero en la de Stock y Watson, parece que está implícito. Estoy confundido.

Answer 1

Mi primera pregunta es sobre el primer supuesto. Ésta, combinada con la suposición de que $Y=\beta_0+\beta_1X$ , da $E(Y|X)=\beta_0+\beta_1X$ . Pero, ¿no es esta ecuación el punto de partida de nuestro análisis de regresión? Si no es así, ¿qué intentamos captar en primer lugar? Parece que $E(u_i|X_i)=0$ o $E(Y|X)=\beta_0+\beta_1X$ combinado con la suposición de que $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$ implica la otra. ¿Qué es lo primero?

Los dos son intercambiables. Puedes empezar desde: $$ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \tag{1} $$ y utilizarlo junto con $\mathbb{E}(u_i|X_i)$ para conseguir $$ \mathbb{E}(Y_i|X_i) = \beta_0 + \beta_1 X_i. \tag{2} $$ Y viceversa, si se parte de $(2)$ se puede definir: $$ u_i = Y_i - \mathbb{E}(Y_i|X_i). $$ tal que $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i$ y: $$ \begin{align*} \mathbb{E}(u_i|X_i) &= \mathbb{E}(Y_i|X_i) - \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y_i|X_i)|X_i),\\ &= 0 \end{align*} $$ Así que no importa. O bien se dice que la media esperada de $Y$ con la condición de $X$ es lineal, o dices que $Y$ es lineal en $X$ y $u_i$ junto con la suposición de que la media de $u_i$ con la condición de $X$ es cero.

Mi segunda pregunta es sobre la expectativa de $u$ . ¿Suponemos que $E(u_i)=0$ ¿o está implícito en otros supuestos? Porque en la Introducción a la Econometría de Wooldridge es un supuesto pero en la de Stock y Watson parece que está implícito. Estoy confundido.

Para ver qué pasa si no lo imponemos, fíjate que en este caso, podemos escribir: $$ u_i = \mathbb{E}(u_i) + \underbrace{(u_i - \mathbb{E}(u_i))}_{\delta_i} $$ Ahora, $\delta_i$ tiene una media de cero, $$ \mathbb{E}(\delta_i) = \mathbb{E}(u_i) - \mathbb{E}(u_i) = 0. $$ Ahora podemos escribir: $$ \begin{align*} Y_i &= \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i,\\ &= \left(\beta_0 + \mathbb{E}(u_i)\right) + \beta_1 X_i + \delta_i \end{align*} $$ Así que si la media de $u_i$ no es cero, simplemente se añade al intercepto $\beta_0$ . En otras palabras, si se añade un intercepto a la regresión, suponiendo que $\mathbb{E}(u_i) = 0$ es sin pérdida de generalidad.