La función CES puede derivarse directamente de la condición de elasticidad de sustitución constante. Hay varias formas de hacerlo, pero la derivación más sencilla se produce para una función de producción homotética. Supongamos que partimos de una función de producción homotética $Q = f^*(K, L)$ y lo reescribimos en forma intensiva como
$$\begin{matrix} q = f(k) & & q \equiv Q/L & & k \equiv K/L. \end{matrix}$$
Para este caso, la elasticidad de sustitución $s$ se puede demostrar que es así:
$$s = - \frac{f'(k)(f(k) - kf'(k))}{kf(k)f''(k)}.$$
Dejar $r \equiv (s-1)/s$ y reordenando esta ecuación se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:
$$\frac{kf(k)f''(k)}{1-r} + f'(k)(f(k) - kf'(k)) = 0.$$
Esta ecuación tiene solución general $q = f(k) = c_0 (1 + c_1 k^r)^{1/r}$ donde $c_0$ y $c_1$ son constantes. La parametrización con $a \equiv c_1$ y $F \equiv c_0 \cdot c_1^{1/r}$ y sustituyendo para obtener la forma extensiva da:
$$\begin{equation} \begin{aligned} Q = Lq = Lf(K/L) &= c_0 L \left( \left( 1 + c_1 \frac{K}{L} \right)^r \right)^{1/r} \\ &= c_0 \left(c_1 K^r + L^r \right)^{1/r} \\ &= F \left(a K^r + (1-a) L^r \right)^{1/r}. \end{aligned} \end{equation}$$
El parámetro $a$ puede interpretarse como la intensidad de capital en la producción y el parámetro $F$ puede interpretarse como la eficiencia global de la producción.
