Para esta función, la tasa marginal de sustitución técnica viene dada por (K+alpha)/(L+beta). Por lo general, resolvemos K/L en términos de TSM de dos factores. A continuación, diferenciamos para resolver la elasticidad de sustitución. En este caso, K/L se convierte en una función tanto de MRTS como de L. Cómo enfocar el problema en este caso.
Respuesta
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tdm
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Toca madera que no he cometido ningún error.
Consideremos la función de producción $X = (K + \alpha)(L + \beta)$ .
La elasticidad de sustitución viene dada por: $$ \frac{\partial \ln(K/L)}{\partial\ln(MP_L/MP_K)} = \frac{\partial(\ln(K) - \ln(L)}{\partial(\ln(K + \alpha)- \ln(L + \beta))} $$ Tomemos la derivada del numerador y del denominador con respecto a $L$ , escribiendo $K$ en función de $L$ sí mismo: $$ \dfrac{\dfrac{K_L}{K}- \dfrac{1}{L}}{\dfrac{K_L}{K + \alpha} - \dfrac{1}{L + \beta}},\\ $$ Ahora, reescribiendo la función de producción, tenemos que $K = \dfrac{X}{L + \beta} - \alpha$ , por lo que mantener $X$ arreglado que tenemos: $$ K_L = -\frac{X}{(L+\beta)^2} $$ La sustitución da: $$ \begin{align*} &\frac{-\dfrac{X}{(L+\beta)^2 K} - \dfrac{1}{L}}{-\dfrac{X}{(L+\beta)^2(K+\alpha)}-\dfrac{1}{L + \beta}},\\ &=\frac{\dfrac{-XL-(L+\beta)^2 K}{(L + \beta)^2 KL}}{-\dfrac{X}{X(L+\beta)}-\dfrac{1}{L+\beta}},\\ &= \frac{\dfrac{-(K + \alpha)(L + \beta)L - (L+\beta)^2 K}{(L + \beta)^2KL}}{-\dfrac{2}{(L+\beta)}},\\ &= \dfrac{(K+\alpha)(L + \beta)L+(L+\beta)^2K}{2(L+\beta)KL},\\ &= \dfrac{(K+\alpha)L + (L + \beta)K}{2KL},\\ &= \dfrac{\alpha L+ \beta K + 2 KL}{2KL},\\ &= \dfrac{\alpha L + \beta K}{2KL} + 1 \end{align*} $$
