Valoración de los derivados de tipos de interés

Question

En la sección 3.2 aquí , Mandel deduce el precio $P$ de un derivado sobre un tipo de interés $r$ obedece a una EDP de la forma $$\frac{\partial P}{\partial t}+\frac{1}{2}\beta^{2}\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}+\left(\alpha-\beta\lambda\right)\frac{\partial P}{\partial r}-rP=0.$$ (¿Tiene este modelo un nombre?) Intento una solución aquí (para el caso en que $\alpha,\,beta$ son constantes), ya que no he encontrado ninguno en el texto citado, Shreve 2010.

Empiezo con una transformada de Fourier a saber. $P(t,\,r)=\int_{\Bbb R}\widetilde{P}(t,\,k)e^{ikr}dk$ así que $\int_{\Bbb R}f(t,\,k)e^{ikr}dk=0$ con $$f:=\frac{\partial\widetilde{P}}{\partial t}-\frac12\beta^2k^2\widetilde{P}+(\alpha-\beta\lambda)ik\widetilde{P}-i\frac{\partial\widetilde{P}}{\partial k}.$$ Una solución separable $\widetilde{P}=K(k)T(t)$ de $f=0$ da una constante $\rho:=\frac1T\frac{\partial T}{\partial t}$ De ahí que $$\frac1K\frac{\partial K}{\partial k}=(\alpha-\beta\lambda)k+i\left(\frac12\beta^2k^2-\rho\right).$$ Desde $\ln K$ es cúbico en $k$ Espero que $P$ no es analítico en $r$ . ¿Este modelo se resuelve con métodos numéricos (especialmente cuando $\alpha\,\beta$ son funciones de $t,\,r$ )? Si es así, ¿cuáles se recomiendan?

Answer 1

Mandel asume que $\alpha,\beta$ son funciones de $t$ y $r$ y el precio de mercado del riesgo $\lambda$ es una función de $t\,.$ Este modelo es un modelo markoviano de tipos cortos. Aparte de eso, es demasiado general para tener un nombre. Los siguientes modelos con nombre son casos especiales: $$\begin{align} &\alpha(t,r(t)) & \beta(t,r(t)) & & \text{ Name }\\[3mm] \hline &a(t)(\theta(t)-r(t))&\sigma(t)& & \text{ Hull-White }\\[3mm] &a(t)(\theta(t)-r(t))&\sigma(t)\sqrt{r(t)}& &\text{ Cox-Ingersoll-Ross }\\[3mm] &a(t)(\theta(t)-\log r(t))\,r(t)& \sigma(t)\,r(t)& &\text{ Black-Karasinski} \end{align}$$ Se sabe que los modelos CIR y HW tienen una solución semiexplícita para el bono cupón cero $P(t,r(t))\,.$ Si quieres $P$ para ser una derivada arbitraria sobre el tipo de interés no hay esperanza de encontrar una solución semi explícita siempre.