Solución interior del problema de maximización de beneficios

Question

Una función $c: \mathbb{R}^K_+ \xrightarrow{} \mathbb{R}_+$ se dice que es un función de coste si

1. El valor de la función $c$ en $y = \textbf{0}$ es $0$ : $c(\textbf{0}) = 0$
2. $c$ es continua en el dominio $\mathbb{R}^K_+$ estrictamente creciente y estrictamente convexo en $\mathbb{R}^K_{+}$
3. Para cualquier $p \in \mathbb{R}^K_{++}$ el conjunto $B(p) = \{y \in \mathbb{R}^K_+| c(y) \leq p \cdot y\}$ es compacto, el interior de $B(p)$ es no vacía.

Supongamos que una empresa tiene una función de costes $c(\cdot)$ y $p\in \mathbb{R}^K_{++}$ es el precio del mercado. ¿Qué tipo de suposición topológica tengo que añadir para garantizar la existencia de un solución interior al problema de la maximización de los beneficios? $$ \pi (p) = \max_{y\in\mathbb{R}^K_+} \left\{ p\cdot y - c(y) \right\} $$

Observación 1 : A partir de las hipótesis (2) y (3), la existencia de la solución está garantizada. Debido a la convexidad estricta, la unicidad también está garantizada. Sin embargo, es probable que la solución no esté en el interior de $\mathbb{R}^K_{+}$ . Por el momento no he podido encontrar un ejemplo para esto.

Observación 2 : Mi prototipo de función de costes a tener en cuenta es $c(y) = y_1^2+y_2^2$ . Sin embargo, el coste no tiene por qué ser separable de forma aditiva.

Answer 1

Su hipótesis 3 es compatible con soluciones de esquina del tipo $y_i=0$ para algunos $i$ y no es suficiente para evitar soluciones de esquina para algunos precios lo suficientemente pequeños.

Con las funciones de producción es habitual asumir las condiciones de Inada para evitar soluciones de esquina. En el caso de las funciones de costes, estas condiciones se expresan de forma natural como $$ \lim_{y_i\rightarrow 0} \frac{\partial c}{\partial y_i}(y_i,y_{-i})=0 $$ $$ \lim_{y_i\rightarrow +\infty} \frac{\partial c}{\partial y_i}(y_i,y_{-i})=+\infty. $$

En su discusión, usted propuso la función de coste $$c(y_1,y_2)=y_1^2+y_2^2+2y_1$$ para ilustrar una solución de esquina. Esta función no satisface las primeras condiciones de Inada con respecto a $y_1$ De ahí la solución de la esquina.

Un comentario general para concluir: no es totalmente natural prohibir la salida de las empresas de un mercado de producción determinado. En IO hay una literatura bastante dinámica sobre la entrada y la salida. Y ninguna empresa produce todos los productos disponibles en la economía.