Covariación de Ito semimartingales

Question

Si tenemos dos Ito semimartingales sobre $[0,T]$ : $$d X_t^i=a^i_tdt+\sigma_t^idW_t^i,\quad i=1,2$$ ¿Cuál es la relación entre $$\langle X^1,X^2 \rangle_t \quad \text{and} \quad \langle W^1,W^2 \rangle_t, $$ donde $\langle \rangle_t$ denota la variación cuadrática? Suponiendo que el coeficiente de correlación $\rho$ es constante, creo que deberíamos tener $$\langle W^1,W^2 \rangle_t=\rho dt$$ mientras que si no es constante tendríamos $$\langle W^1,W^2 \rangle_t=\int_0^t\rho_s ds$$ ¿Cómo se relaciona esto con la variación cuadrática de $X^1$ y $X^2$ ¿en los dos casos? ¿Existe alguna relación con $\int_0^t\rho_s \sigma_s^1 \sigma_s^2 ds$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \left\langle \int_0^t \sigma_s^1 dW_s^1, \int_0^t \sigma_s^2 dW_s^2\right\rangle &= \int_0^t \sigma_s^1 \sigma_s^2 d\langle W_s^1, W_s^2 \rangle\\ &=\int_0^t \rho_s\sigma_s^1 \sigma_s^2 ds. \end{align*}