Cambio de medida para que un proceso estocástico sea una martingala

Question

$\text { Give a measure change so that } X_{t}=e^{B_{t}}\left(B_{t}-t / 2\right) \text { is a martingale, } 0 \leq t \leq T$

Mi intento

Utilizando el lema de Ito sobre $X_{t}$ nos encontramos con que:

$-\frac{e^{B t}}{2} d t+\left(X_{t}+e^{B_{t}}\right) d B_{t}+\left(\left(2 B_{t}-t+4\right)e^{B_{t}} d t\right. \\ =(\left.2 B_{t}-t+4-\frac{1}{2}\right) e^{B_{t}} d t+\left(X_{t}+e^{B_{t}}\right) d B_{t}$

Entonces usé el teorema de Girsanov:

$d \hat{B}_{t}=d B_{t}+\int_{0}^{+} H_{S} ds$

$H_{t}=\frac{\left(2 B_{t}-t+4-\frac{1}{2}\right) e^{B_{t}}}{X_{t}+e^{B_{t}}}$

Me da un poco de miedo ir más allá porque parece que voy en la dirección equivocada.

Answer 1

Dejemos que $Y_t= e^{B_t}$ y $Z_t = B_{t}-t / 2$ . Entonces, \begin{align*} dX_t &= Z_t dY_t + Y_t dZ_t + d\langle Y, Z\rangle_t\\ &=(B_{t}-t / 2)e^{B_t}\big( dB_t + 1/2\,dt \big) + e^{B_t}\big(dB_t -1/2\, dt\big) + e^{B_t} dt\\ &=e^{B_t}(B_t-t / 2+1)dB_t + e^{B_t}(B_t/2-t / 4 -1/2+1)dt\\ &=e^{B_t}(B_t-t / 2+1)d\big(B_t+1/2t\big). \end{align*} Definimos la medida de probabilidad $Q$ en $\mathscr{F}_T$ por \begin{align*} \frac{dQ}{dP}=e^{-\frac{1}{8}t-\frac{1}{2}B_t}. \end{align*} Entonces $\{W_t, \, t\ge 0\}$ , donde $W_t = B_t+1/2\,t$ es un movimiento browniano estándar bajo $Q$ . Además, \begin{align*} dX_t = e^{W_t-\frac{1}{2}t}(W_t-t+1)dW_t. \end{align*} Eso es, $\{X_t, \, 0 \le t \le T\}$ es una martingala.

Answer 2

(Ahora que he visto la solución de Gordon, puedo terminar mi intento; había notado $dB_t +1/2dt$ inmediatamente de la regla del producto para $V_t$ , covariación cuadrática cero entre $t/2$ y $e^{B_t}$ pero horas después :) Todavía estaba perplejo por $U_t$ .)

$$ X_t = U_t - V_t $$ $$ V_t = e^{B_t}t/2$$ $$ U_t = e^{B_t}B_t $$

$$ dV_t = \boxed{1/2e^{B_t} dt} + 1/2V_t(dB_t + 1/2dt) $$

$$ dU_t = (U_t + e^{B_t}) dB_t + 1/2(U_t + 2e^{B_t})dt $$

$$ = (U_t + e^{B_t})(dB_t +1/2dt) + \boxed{1/2e^{B_t} dt} $$

Así que, por sustracción (y la afortunada cancelación de los términos de la caja):

$$ dX_t = (U_t + e^{B_t} - 1/2V_t)(dB_t + 1/2dt) $$