El papel es Oberfield y Raval 2021 .
Los consumidores tienen preferencias estándar de Dixit-Stiglitz consumiendo el paquete
$$Y= \left(\sum_{i \in I} D_{i}^{\frac{1}{\varepsilon}} Y_{i}^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$
Existen plantas monopolísticas con un CES común entre los insumos de capital y trabajo, es decir
$$Y_{i}=\left[\left(A_{i} K_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\left(B_{i} L_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$ .
Dejemos que $\alpha_{i} \equiv \frac{r K_{i}}{r K_{i}+w L_{i}}$ y $\alpha \equiv \frac{r K}{r K+w L}$ denotan las cuotas de coste del capital a nivel de planta y a nivel agregado, donde $K \equiv \sum_{i \in I} K_{i}$ y $L \equiv \sum_{i \in I} L_{i}$ .
La elasticidad de sustitución a nivel de planta y agregada es
$$\begin{aligned} \sigma-1 &=\frac{\mathrm{d} \ln r K_{i} / w L_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}=\frac{\mathrm{d} \ln \alpha_{i} /\left(1-\alpha_{i}\right)}{\mathrm{d} \ln w / r}=\frac{1}{\alpha_{i}\left(1-\alpha_{i}\right)} \frac{\mathrm{d} \alpha_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}, \\ \sigma^{\mathrm{agg}}-1 &=\frac{\mathrm{d} \ln r K / w L}{\mathrm{~d} \ln w / r}=\frac{\mathrm{d} \ln \alpha /(1-\alpha)}{\mathrm{d} \ln w / r}=\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} \ln w / r} \end{aligned}$$ .
La cuota de coste agregada del capital puede expresarse como $$\alpha=\sum_{i \in I} \alpha_{i} \theta_{i}$$ donde $\theta_{i} \equiv \frac{r K_{i}+w L_{i}}{r K+w L}$ y diferenciando $$\sigma^{\mathrm{agg}}-1=\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \sum_{i \in I} \alpha_{i}\left(1-\alpha_{i}\right)(\sigma-1) \theta_{i}+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \sum_{i \in I} \alpha_{i} \theta_{i} \frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$$ .
Para el segundo término de la RHS, los autores dicen "Por el lema de Shephard, la cuota de capital de una planta $\alpha_{i}$ mide cómo los precios relativos de los factores afectan a su coste mariginal" y muestra que $$\frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}=(\varepsilon-1)\left(\alpha_{i}-\alpha\right)$$ .
A continuación, los autores muestran que "la elasticidad de sustitución de la industria es una combinación convexa de la micro ES y la elasticidad de la demanda": $$\sigma^{\mathrm{agg}}=(1-\chi) \sigma+\chi \varepsilon$$ donde $\chi \equiv \sum_{i \in I} \frac{\left(\alpha_{i}-\alpha\right)^{2}}{\alpha(1-\alpha)} \theta_{i}$ .
Pregunta 1: ¿Cómo ilustrar la afirmación "Por el lema de Shephard, la parte del coste del capital de una planta $\alpha_{i}$ mide cómo los precios relativos de los factores afectan a su coste mariginal" y para derivar el $\frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$ ?
Pregunta 2: ¿Cómo derivar el $\sigma^{\mathrm{agg}}=(1-\chi) \sigma+\chi \varepsilon$ ?