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Derivar y descomponer la elasticidad de sustitución agregada en la economía CES

El papel es Oberfield y Raval 2021 .

Los consumidores tienen preferencias estándar de Dixit-Stiglitz consumiendo el paquete

$$Y= \left(\sum_{i \in I} D_{i}^{\frac{1}{\varepsilon}} Y_{i}^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}}$$

Existen plantas monopolísticas con un CES común entre los insumos de capital y trabajo, es decir

$$Y_{i}=\left[\left(A_{i} K_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+\left(B_{i} L_{i}\right)^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}\right]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$ .

Dejemos que $\alpha_{i} \equiv \frac{r K_{i}}{r K_{i}+w L_{i}}$ y $\alpha \equiv \frac{r K}{r K+w L}$ denotan las cuotas de coste del capital a nivel de planta y a nivel agregado, donde $K \equiv \sum_{i \in I} K_{i}$ y $L \equiv \sum_{i \in I} L_{i}$ .

La elasticidad de sustitución a nivel de planta y agregada es

$$\begin{aligned} \sigma-1 &=\frac{\mathrm{d} \ln r K_{i} / w L_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}=\frac{\mathrm{d} \ln \alpha_{i} /\left(1-\alpha_{i}\right)}{\mathrm{d} \ln w / r}=\frac{1}{\alpha_{i}\left(1-\alpha_{i}\right)} \frac{\mathrm{d} \alpha_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}, \\ \sigma^{\mathrm{agg}}-1 &=\frac{\mathrm{d} \ln r K / w L}{\mathrm{~d} \ln w / r}=\frac{\mathrm{d} \ln \alpha /(1-\alpha)}{\mathrm{d} \ln w / r}=\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} \ln w / r} \end{aligned}$$ .

La cuota de coste agregada del capital puede expresarse como $$\alpha=\sum_{i \in I} \alpha_{i} \theta_{i}$$ donde $\theta_{i} \equiv \frac{r K_{i}+w L_{i}}{r K+w L}$ y diferenciando $$\sigma^{\mathrm{agg}}-1=\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \sum_{i \in I} \alpha_{i}\left(1-\alpha_{i}\right)(\sigma-1) \theta_{i}+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \sum_{i \in I} \alpha_{i} \theta_{i} \frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$$ .

Para el segundo término de la RHS, los autores dicen "Por el lema de Shephard, la cuota de capital de una planta $\alpha_{i}$ mide cómo los precios relativos de los factores afectan a su coste mariginal" y muestra que $$\frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}=(\varepsilon-1)\left(\alpha_{i}-\alpha\right)$$ .

A continuación, los autores muestran que "la elasticidad de sustitución de la industria es una combinación convexa de la micro ES y la elasticidad de la demanda": $$\sigma^{\mathrm{agg}}=(1-\chi) \sigma+\chi \varepsilon$$ donde $\chi \equiv \sum_{i \in I} \frac{\left(\alpha_{i}-\alpha\right)^{2}}{\alpha(1-\alpha)} \theta_{i}$ .

Pregunta 1: ¿Cómo ilustrar la afirmación "Por el lema de Shephard, la parte del coste del capital de una planta $\alpha_{i}$ mide cómo los precios relativos de los factores afectan a su coste mariginal" y para derivar el $\frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$ ?

Pregunta 2: ¿Cómo derivar el $\sigma^{\mathrm{agg}}=(1-\chi) \sigma+\chi \varepsilon$ ?

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Mr_and_Mrs_D Puntos 339

Yo soy el que hizo la pregunta original en otro hilo, pero desgraciadamente, mi narración es muy poco clara y de ahí que se haya cerrado el original, pero me alegro de que haya una nueva pregunta más clara que la mía.

Esto es lo que he probado hasta ahora.

$$\min rK_{i}+wL_{i}$$ $$\text{subject to}Y_{i}=[(A_{i}K_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+(B_{i}L_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}]^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$$

$$w=\lambda_{i}[(A_{i}K_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+(B_{i}L_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}]^{\frac{1}{\sigma-1}}(B_{i}L_{i})^{\frac{-1}{\sigma}}B_{i}$$

$$r=\lambda_{i}[(A_{i}K_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}+(B_{i}L_{i})^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}]^{\frac{1}{\sigma-1}}(A_{i}K_{i})^{\frac{-1}{\sigma}}A_{i}$$

obtener el coste marginal $\lambda_{i}$

$$\lambda_{i}=[(r/A_{i})^{1-\sigma}+(w/B_{i})^{1-\sigma}]^{\frac{1}{1-\sigma}}$$

entonces

$$\frac{d\log{\lambda_{i}}}{d\log{r/w}}=\frac{(r/A_{i})^{1-\sigma}}{(r/A_{i})^{1-\sigma}+(w/B_{i})^{1-\sigma}}$$

insertando las fórmulas de $w$ y $r$

$$\frac{d\log{\lambda_{i}}}{d\log{r/w}}=\frac{rK_{i}}{rK_{i}+wL_{i}}=\alpha_{i}$$

¿Cuáles son las palabras "la cuota de capital de una planta $\alpha_{i}$ mide cómo los precios relativos de los factores afectan a su coste marginal"


Pero todavía no lo he trabajado, si $rK_{i}+wL_{i}$ puede hacerse idéntico a $P_{i}Y_{i}$ ,

y si puedo conseguir razonablemente

$$\frac{d\log{P_{i}/P_{j}}}{d\log{\lambda_{i}/\lambda_{j}}}=1$$

de

$$P_{i}=\frac{-\epsilon}{1-\epsilon}\lambda_{i}$$


entonces insertando la función de demanda del consumidor para obtener

$$\frac{d\log{P_{i}Y_{i}/P_{j}Y_{j}}}{d\log{P_{i}/P_{j}}}=1-\epsilon$$

y luego obtiene

$$\frac{d\log{\theta_{i}/\theta_{j}}}{d\log{w/r}}$$ $$=\frac{d\log{P_{i}Y_{i}/P_{j}Y_{j}}}{d\log{w/r}}$$ $$=\frac{d\log{P_{i}Y_{i}/P_{j}Y_{j}}}{d\log{P_{i}/P_{j}}}$$ $$\times\frac{d\log{P_{i}/P_{j}}}{d\log{\lambda_{i}/\lambda_{j}}}$$ $$\times -\frac{d\log{\lambda_{i}/\lambda_{j}}}{d\log{r/w}}$$ $$=(\epsilon-1)(\alpha_{i}-\alpha_{j})$$

pero me temo que mi forma de pensar no es la correcta.


actualización

$$\begin{aligned} \frac{d\log{\theta/\theta_{j}}}{d\log{w/r}}=&\sum_{i}\frac{d\log{\theta_{i}/\theta_{j}}}{d\log{w/r}}\frac{\theta_{i}/\theta_{j}}{(w/r)}\frac{\theta_{j}/\theta}{r/w}\\ =&\sum_{i}\frac{d\log{\theta_{i}/\theta_{j}}}{d\log{w/r}}\frac{\theta_{i}}{\theta}\\ =&\sum_{i}(\epsilon-1)(\alpha_{i}-\alpha_{j})\frac{\theta_{i}}{\theta}\\ =&(\epsilon-1)(\alpha-\alpha_{j})\\ \end{aligned}$$

es decir

$$\frac{d\log{\theta_{j}/\theta}}{d\log{w/r}}=(\epsilon-1)(\alpha_{j}-\alpha)$$

pero $\theta=\sum_{i}\theta_{i}=1$

por lo que

$$\frac{d\log{\theta_{j}}}{d\log{w/r}}=(\epsilon-1)(\alpha_{j}-\alpha)$$


desde

$$ \begin{aligned} \sigma^{agg}=1&+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}(1-\alpha_{i})(\sigma-1)\theta_{i}\\ &+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}\frac{d\log{\theta_{i}}}{d(w/r)}\\ =1&+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}(1-\alpha_{i})\sigma\theta_{i}\\ &-\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}(1-\alpha_{i})\theta_{i}\\ &+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}\epsilon(\alpha_{i}-\alpha)\\ &-\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}-\alpha)\\ =&\{1-[\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(\alpha_{j}-\alpha)+\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(1-\alpha_{i})]\}\\ &+[\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}-\alpha)]\epsilon\\ &+[\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(1-\alpha_{i})]\sigma\\ \end{aligned}$$

Definir

$$\begin{aligned} \chi:= &\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}-\alpha)^{2}\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}^{2}+\alpha^{2}-2\alpha\alpha_{i})\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}\alpha_{i}^{2}+\alpha^{2}\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}-2\alpha^{2}\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}\alpha_{i}^{2}-\alpha^{2}\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}\alpha_{i}^{2}-\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}\alpha\alpha_{i}\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}^{2}-\alpha\alpha_{i})\\ =&\frac{1}{\alpha(1-\alpha)}\sum_{i}\alpha_{i}\theta_{i}(\alpha_{i}-\alpha)\\ \end{aligned}$$

entonces

$$\sigma^{agg}=(1-\chi)\sigma+\chi\epsilon$$

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Creo que sería mejor añadir esto a tu pregunta. De lo contrario, la gente podría pensar que su pregunta ya fue respondida.

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Gracias por intentarlo. Sí, podemos derivar $\frac{d \log \lambda_{i}}{d \log r / w}=\alpha_{i}$ así, pero lo que me confunde es cómo se relaciona el lema de Shephard con este resultado, que podría indicar alguna derivación más fácil. Y no creo que $r K_{i}+w L_{i}$ puede hacerse idéntico a $P_{i} Y_{i}$ . ¿Y por qué resuelve $d \log \theta_{i} / \theta_{j}$ ? Creo que la dificultad de derivar $\frac{\mathrm{d} \ln \theta_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$ es la parte agregada. En realidad $\frac{\mathrm{~d} \ln r K_{i}+w L_{i}}{\mathrm{~d} \ln w / r}$ se puede derivar fácilmente siguiendo el primer resultado.

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@Alalalaki sí. Yo también estoy doutando estas partes de mi razonamiento. Tal vez puedas publicar la parte de la derivación de la elasticidad del coste de la empresa individual al precio relativo de los factores, y podamos resolverlo juntos con más fluidez. La razón por la que resuelvo la elasticidad relativa de i y j es que creo (quizás erróneamente de nuevo) que la parte agregada se puede derivar de ella como una suma ponderada. Y lo intentaré de nuevo cuando utilice mi ordenador.

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