Dividamos el horizonte temporal habitual $[0,T]$ como $0=T_{0}<T_{1}<\dots<T_{n}=T$ y considerar el precio del bono $P(t,T_{i})$ para $i=1,...,n$ . Suponemos que $$\frac{dP(t,T_{i})}{P(t,_{i})}=r_{t}dt+\xi_{i}(t)dB_{t}$$ Por Ito podemos recordar $$P(t,T_{i})=P(0,T)\exp(\int_{0}^{t}r_{s}ds+\int^{t}_{0}\xi_{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{t}_{0}|\xi_{i}(s)|^{2}ds)$$ Ahora, se supone que debo demostrar usando el teorema de Girsanov I, que el proceso $W_{t}^{i}=B_{t}-\int^{t}_{0}\xi_{i}(s)ds$ es un movimiento browniano estándar bajo la medida de avance $Q_{T_{i}}$ utilizando $P(t,T)$ como numerario para $i=1,...,n$ . La pregunta dice $$dW_{t}^{i}=dB_{t}-\frac{1}{N_{t}}dN_{t}dB_{t}=...=dB_{t}-\xi_{i}(t)dt$$ "Completa la parte ... y mira la $\frac{1}{N_{t}}dN_{t}$ ¿Qué es y por qué lo usamos aquí?" No encuentro cómo se utiliza Girsanov para la no fijación de precios y esta expresión con la parte ... se deriva de esto?
Respuesta
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Gracias al teorema de Girsanov, tenemos la siguiente relación entre la medida de avance $\mathbb{Q}^{T_i}$ y la medida histórica $\mathbb{P}$ . \begin{align} \left.\frac{d\mathbb{Q}^{T_i}}{d\mathbb{P}}\right|_{\mathcal{F}_t} &= e^{-\int_t^Tr_sds}\frac{P_t(T_i)}{P_0(T_i)} \\ &= \exp\left(\int^{T_i}_{t}\xi_{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{T_i}_{0}|\xi_{i}(s)|^{2}ds\right)\\ &=\frac{N_{T_i}}{N_t} \end{align} donde $N_t = \exp\left(\int^{t}_{0}\xi_{i}(s)dB_{s}-\frac{1}{2}\int^{t}_{0}|\xi_{i}(s)|^{2}ds\right)$ . Este proceso es una martingala exponencial ampliamente conocida como exponencial de Doléans-Dade. Por la fórmula de Ito, la dinámica de $N_t$ es
\begin{equation} dN_t = N_t\xi_i(t)dB_t \end{equation}
Giranov nos dice también que existe un movimiento browniano bajo $\mathbb{Q}^{T_i}$ dado por : \begin{align} dW_t &= dB_t - \frac{1}{N_t}\langle N_., W_.\rangle_t\\ &=dB_t -\frac{1}{N_t}N_t\xi_i(t)\langle W_., W_.\rangle_t\\ &= dB_t - \xi_i(t)dt \end{align}
