Todos.
Tengo la siguiente pregunta:
Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad indirecta:
$ V(p_1,p_2,b) = (p_2k-b)p_1^{-1} \left[ \frac{2p_2k - 2b}{p_2} \right]^{-2}, x_2 < k$
a) Encuentre la demanda marshalliana del bien 2.
b) Encuentre la demanda hicksiana del bien 2.
c) Demuestre que la ecuación de Slutsky se cumple para el bien 2.
d) ¿Por qué es necesario tener $x_2 < k$
Para a) he encontrado:
$ \boxed{\boxed{ x_2(p_1,p_2,b) = \frac{2b-p_2k}{p_2} }} $
Para b):
$ \boxed{\boxed{ x_2^c(p_1,p_2,\bar{U}) = k - \frac{P_2}{2P_1 \cdot \bar{U} }}} $
Para c) después de sustituir $E(p_1,p_2, \bar{U})$ con $p_1 \cdot x_1(p_1,p_2,b) + p_2 \cdot x_2(p_1,p_2,b)$ He encontrado $\bar{U} = \frac{p_2^2}{(p_2k-b) 4p_1}$ y usar eso en
$\frac{\partial x_2(p_1,p_2,b)}{\partial p_2} = \frac{\partial x_2^c(p_1,p_2,\bar{U})}{\partial p_2} - \frac{\partial x_2(p_1,p_2,b)}{\partial b} \cdot x_2(p_1,p_2,b)$
Pude demostrar que ambas partes son iguales.
Para d) esto es lo que he probado:
utilizando la identidad de Roy podemos encontrar
$x_1(p_1,p_2,b) = \frac{p_2k - b}{p_1}$
asumiendo que la demanda del bien 1 es positiva, debemos entonces tener:
$ \frac{p_2k - b}{p_1} > 0 $
Desde $p_1 > 0$ podemos reescribir la desigualdad como
$ p_2k - b > 0 $
pero
$b = p_1x_1 + p_2x_2$ ,
así que
$ p_2k - p_1x_1 - p_2x_2 > 0 \therefore p_2 \cdot (k - x_2) > p_1x_1 \therefore k-x_2 > \frac{p_1x_1}{p_2}$ porque $p_2$ es positivo.
Ahora bien, como $p_1 > 0$ y asumiendo $x_1 > 0$ tenemos $\frac{p_1x_1}{p_2} > 0$ lo que a su vez implica que
$k-x_2 > 0 \therefore \boxed{\boxed{x_2 < k, Q.E.D.}} $
¿Son correctas mis respuestas? En c) ¿hay una forma más rápida de encontrar $\bar{U}$ para poder sustituirla en la demanda hickisiana y demostrar que la ecuación de Slutsky se mantiene para el bien 2?
Agradezco cualquier aportación.
Que te vaya bien, Pedro.
