Modelización del precio de una opción con otra opción mediante Black Scholes

Question

Me lo han dicho:

El precio de una llamada con precio de ejercicio $k$ y el interés sin riesgo $r$ es idéntico al precio de una opción de compra con precio de ejercicio $ke^{-r}$ y el interés sin riesgo $0$ .

Esto es lo que reclamo. Dejemos que $c_1$ sea el precio de una opción con tipo de interés $r$ y el precio de ejercicio $k$ . Sea $c_2$ sea el precio de una opción sobre el mismo valor subyacente, con strike $ke^{-rt}$ La duración de la opción de compra es la misma que la de la primera opción de compra y el tipo de interés es de $0$ . Mi reclamación es que $c_1 = (c_2)e^{-rt}$ .

¿Estoy en lo cierto?

Bob

Answer 1

Esto es fácil de demostrar simplemente reordenando la solución de Black Scholes para las llamadas europeas simples. En lo que sigue hacemos explícita la dependencia del strike y del tipo de interés y establecemos $\hat{K} = K e^{-r T}$ . Primero,

\begin{eqnarray} d_\pm(K, r) & = & \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r \pm \frac{1}{2} \sigma^2 T \right) \right)\\ & = & \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{K e^{-r T}} \right) \pm \frac{1}{2} \sigma^2 T \right)\\ & = & \frac{1}{\sigma \sqrt{T}} \left( \ln \left( \frac{S_0}{\hat{K}} \right) \pm \frac{1}{2} \sigma^2 T \right)\\ & = & d_\pm \left( \hat{K}, 0 \right). \end{eqnarray}

Así,

\begin{eqnarray} C_0(K, r) & = & S_0 \mathcal{N} \left( d_+(K, r) \right) - K e^{-r T} \mathcal{N} \left( d_-(K, r) \right)\\ & = & S_0 \mathcal{N} \left( d_+ \left( \hat{K}, 0 \right) \right) - \hat{K} \mathcal{N} \left( d_- \left( \hat{K}, 0 \right) \right)\\ & = & C_0 \left( \hat{K}, 0 \right) \end{eqnarray}

Así que sí, lo que te han dicho es correcto. Y no, su fórmula es incorrecta ya que parece afirmar que

\begin{equation} C_0(K, r) = e^{-r T} C_0 \left( \hat{K}, 0 \right). \end{equation}