Me gustaría que alguien me diera una visión intuitiva de la expectativa condicional. Es decir: Siempre lo he entendido a través de fórmulas pero aún no "veo" lo que es. Gracias
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Como tienes una pregunta abierta, déjame intentar darte un ejemplo en finanzas.
Dejemos que $(M_t)$ sea una martingala, es decir, un juego justo. Tales procesos, en promedio (su expectativa), no aumentan ni disminuyen, se mantienen constantes. En consecuencia, $\mathbb{E}[M_t]=M_0$ es decir, si me preguntas ahora mismo qué valor espero $M$ tendrá en el momento $t$ Espero que en promedio esté en el punto de partida $M_0$ . Un ejemplo puede ser el proceso de riqueza de un juego justo o el proceso de precio de una comilla bursátil descontada (con respecto a una medida apropiada).
Qué pasa ahora si pasa algún tiempo. No estamos en el tiempo $t=0$ ¿pero a mitad de camino? Podrías preguntarme mañana qué espero donde $M$ en una semana. Más formalmente, esto se traduce en $\mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]$ si $s<t$ . Desde $M$ es una martingala, por supuesto, $\mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]=M_0$ y seguiré respondiendo que espero estar, de media, donde empieza, en $M_0$ .
Aquí, $\mathcal{F}_s$ representa toda la información que he reunido hasta el momento $s$ . Esto puede mejorar mi expectativa. Supongamos que te pregunto hoy dónde se cotizan las acciones de la manzana en un año. O tienes una bola de cristal o adivinas un número, este número es $\mathbb{E}[M_t]$ . Podría volver a preguntarle dentro de 6 meses y, dependiendo de lo que ocurra en el próximo medio año, su expectativa podría haber cambiado. Al fin y al cabo, la incertidumbre ha disminuido ligeramente y sabemos un poco mejor lo que puede pasar. Si te pregunto dentro de 11 meses, puedes dar una estimación razonable y así sucesivamente. Por tanto, al aumentar la información disponible, tu expectativa cambia. La expectativa condicional recoge esta noción. $\mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]$ en realidad sólo significa lo que esperas $M_t$ para recibir la información hasta el momento $s$ .
Las reglas y los formularios que implican una expectativa condicional son, por tanto, muy intuitivos.
- Dejemos que $s=0$ . Por lo general, suponemos que $\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$ . Esto es lo mismo que no tener ninguna información. Al fin y al cabo, en el momento cero, no podrías haber reunido ninguna información adicional específica. Por lo tanto, $$\mathbb{E}[M_t\mid \{\emptyset,\Omega\}] = \mathbb{E}[M_t].$$ Esto significa que el condicionamiento en $F_0$ no ayuda en absoluto a mejorar su expectativa. Esto se generaliza de la siguiente manera. Dejemos que $M$ ser independiente de $\mathcal{G}$ . Entonces, $\mathbb{E}[M_t\mid \mathcal{G}] = \mathbb{E}[M_t]$ . Imagina que $\mathcal{G}$ simplemente no contiene ninguna información sobre $M$ . Desde el punto de vista financiero, si le vuelvo a preguntar por las acciones de Apple y reúne información sobre las acciones japonesas a precio reducido, es posible que esto no mejore su predicción sobre Apple y que el precio de ésta sea independiente de las acciones japonesas a precio reducido. Por lo tanto, si le pido que prediga la comilla de Apple después de observar las acciones japonesas de bajo coste durante un mes, su predicción no habrá mejorado. Sin embargo, si observa el precio de Apple durante las últimas 4 semanas, esto puede ayudarle a dar una mejor expectativa del precio futuro de Apple.
- Suponga que tiene un proceso finito $(M_t)_{t\in[0,T]}$ terminando en algún momento $T$ . Entonces, $\mathbb{E}[M_T\mid \mathcal{F}_T] = M_T$ . Desde el punto de vista financiero, si le pregunto el precio de las acciones de Apple el 01/03/2019 y usted conoce todos los precios de Apple hasta el 01/03/2019, entonces por supuesto puede decirme con absoluta certeza qué valor espera. Esto se generaliza de la siguiente manera. Si $M_t$ es $\mathcal{F}_t$ -medible, entonces $$\mathbb{E}[M_t\mid \mathcal{F}_t]= M_t.$$
Esta respuesta es ya demasiado larga y me gustaría continuar, pero permítanme concluir de la siguiente manera. Es crucial entender que $\mathbb{E}[X]$ es un número real, su expectativa estándar. El objeto $\mathbb{E}[X\mid \mathcal{F}_t]$ es una variable aleatoria. Depende de $\mathcal{F}_t$ que, a su vez, depende de la realización (aleatoria) de un proceso estocástico.
dotnetcoder
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1262
Una expectativa es una "media" de una propiedad medida sobre todos los resultados posibles.
Supongamos que tienes un dado y tomas la expectativa de una tirada. Podría ser de 1 a 6 con igual probabilidad, por lo que la expectativa es de 3,5.
Pero ahora dale un condicionamiento. Un acondicionamiento es como un filtro para que excluyas posibilidades del conjunto.
Cuál es la expectativa de una tirada dada que la tirada es mayor que 3. Ahora sólo hay 3 opciones: 4-6 con igual probabilidad y la expectativa condicional es 5.
¿Cuál es la probabilidad de que alguien sea miope, medida sobre todas las personas? ¿Cuál es la probabilidad de que alguien sea miope si lleva gafas; mayor o menor? ¿Cuál es la probabilidad de que alguien sea miope si nunca ha llevado gafas, mayor o menor?
