Equilibrio de Nash bayesiano - Estrategias mixtas

Question

¿Cuál es la forma correcta de resolver BNE en estrategias mixtas? He encontrado dos métodos conflictivos utilizados.

Dos jugadores. El jugador 1 sabe qué juego se está jugando, el jugador 2 sabe que el juego se elige con probabilidad $\mu$.

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline L & 1, 1 & 0, 0 \\ \hline R & 0, 0 & 0, 0 \end{array}$

o

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline L & 0, 0 & 0, 0 \\ \hline R & 0, 0 & 2, 2 \end{array}$

Así que para las estrategias puras estoy encontrando un método consistente. Formar un juego en forma normal:

$\begin{array}{c|c|c} \ & A & B \\ \hline LL & \mu, \mu & 0, 0 \\ \hline LR & \mu, \mu & 2\mu, 2\mu \\ \hline RL & 0, 0 & 0, 0 \\ \hline RR & 0, 0 & 2\mu, 2\mu \end{array}$

Esto nos permite encontrar la solución de estrategia pura utilizando la forma normal. ¿Cómo calculamos las estrategias mixtas?

He visto dos métodos diferentes.

1: Observar la mezcla sobre (L, R) en el juego 1 con probabilidad (a, 1-a) y (L, R) en el juego 2 con probabilidad (b, 1-b).

2. Observar la mezcla sobre (LL, LR, RL, RR) con probabilidad (a, b, c, 1-a-b-c).

Cualquier consejo/lectura es muy apreciado.

Answer 1

Creo que la respuesta dada por @denesp es incorrecta. El segundo método implica simplemente escribir el juego en forma estratégica o de "normal". Creo que el primer método es mejor (más fácil de usar), pero creo que ambos se pueden utilizar. En la respuesta dada por @desesp, se da la siguiente explicación.

La razón por la que el método dos es defectuoso es que las probabilidades $a$, $b$ y $c$ no son independientes ya que $$a = p \cdot q, \hskip 20pt b = p \cdot (1 - q), \hskip 20pt c = (1 - p) \cdot q, \hskip 20pt 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q).$$

Aquí, parece que se produce una mezcla en L en el juego 1 (con probabilidad $p$) y L en el juego 2 (con probabilidad $q$). Esta interpretación tiene sentido. Creo que @denesp está confundiendo las probabilidades condicionales e incondicionales. Para entender mejor esto, voy a comenzar con una discusión sobre acciones versus estrategias. Luego discutiré cómo el conjunto de estrategias considerado en los métodos 1 está incluido en el método 2. Notaré que el método 2 contiene un conjunto de estrategias más amplio, que puede ser útil o no. Concluiré con un ejemplo de cómo ambos métodos pueden producir las mismas respuestas.

Diferencia entre acciones y estrategias

En la explicación dada anteriormente, puede parecer que se está produciendo una mezcla sobre acciones. Esta no es una interpretación correcta. Es técnicamente incorrecto porque el jugador no está mezclando acciones sino estrategias. Esto es porque un jugador elige estrategias, no acciones. Una estrategia es un plan que denota las acciones que un jugador toma en cualquier contingencia. Podemos pensar en ello como mapear conjuntos de información a acciones. Esto es importante porque queremos que las acciones del jugador 1 dependan del estado de la naturaleza, queremos que dependan de en qué juego está jugando.

Para referencia, podemos encontrar definiciones de acciones y estrategias en el primer capítulo del libro de Rasmusen, Juegos e Información (4ta edición). El texto relevante se da aquí:

¿Qué conjuntos de estrategias se consideran en cada método?

En el caso del juego que has dado, las estrategias puras disponibles se pueden escribir de manera sucinta (LL, LR, RL, RR), como ya has hecho en el método 2. Por lo tanto, el método que describiste en el método dos mezcla sobre las estrategias puras, con probabilidades: $a$, $b$, $c$, y $1-a-b-c.

¿Qué estrategias, entonces, estamos mezclando en el método 1? Supongamos que $p$ es la probabilidad de elegir L en el juego 1 y $q$ es la probabilidad de elegir L en el juego 2. Entonces, en el método 1, podemos ver que estamos eligiendo la probabilidad condicional de tomar cada acción en cada contingencia. Supongamos que el juego 1 se denota $G_1$ y que el juego 2 se denota $G_2$. Cuando especificamos $p$ y $q, realmente estamos especificando$$p=P(L|G_1)\\ q=P(L|G_2).$$ Ahora, para mostrar que estos dos métodos son equivalentes, necesitamos mostrar que los conjuntos de estrategias representados por cada uno de estos conjuntos son iguales.

El método 2 contiene las mismas estrategias que el método 1, más algunas adicionales.

Primero, ten en cuenta que las estrategias puras LL, LR, RL y RR se pueden representar en el método 1 configurando $p$ y $q$ en cero o 1.

Supongamos que estamos usando el método 2 y que elegimos un $a, b$ y $c$ particulares, como se define arriba. Esto se puede representar en el método 1 con $$\begin{align*} p &= a + b \\ q &= a + c. \end{align*}$$

Sin embargo, supongamos que elegimos un $p$ y $q$ particulares en el método 1. Se puede representar en el método 2, pero no de manera única. Supongamos que $p=1/2$ y $q=1/2$. Entonces dos posibilidades son $(a,b,c)=(1/2,0,0)$ o la otra es $(a,b,c)=(0,1/2,1/2)$.

¿Por qué contiene el método 2 más estrategias?

El método 2 contiene más estrategias porque permite más flexibilidad para especificar el comportamiento fuera del equilibrio. Esto puede terminar capturando amenazas no creíbles. Dependiendo del concepto de equilibrio que estés usando, es posible que quieras incluirlos o no. Si solo estás interesado en equilibrios de Nash bayesianos, entonces querrás incluirlos. Si estás interesado en equilibrios de Nash perfectos en subjuegos o equilibrios secuenciales bayesianos, entonces no los quieres incluir.

Aquí tienes un ejemplo de cómo el método 1 puede no captar algunos equilibrios

El siguiente juego es nuevamente tomado del libro de Rasmusen. Supongamos que en este juego, Smith se mueve primero.

Luego, Jones debe elegir entre 4 estrategias. En cada una de estas estrategias, especifica sus acciones en cada contingencia. Las 4 estrategias se enumeran aquí y el juego se representa en forma estratégica o de "normal".

Existen tres equilibrios, denotados $E_1$, $E_2$ y $E_3$. Si simplemente estuviéramos interesados en los equilibrios de Nash de este juego, incluiríamos todos estos equilibrios. Sin embargo, si estamos interesados solo en los equilibrios perfectos en subjuegos, solo querríamos $E_2$. Eso es porque $E_1$ y $E_3$ involucran amenazas no creíbles.

Creo que si intentáramos resolver este juego usando el método 1, no podríamos identificar los tres equilibrios.

Forma "normal" estratégica

En la pregunta que has dado, el método 2 está transformando esencialmente esto en un juego estático en el que consideramos todas las estrategias. Esto significa que estamos considerando la forma "normal" del juego. Este método es fácil y apropiado si estás interesado en encontrar los equilibrios de estrategia pura. Probablemente también se puede utilizar para encontrar los BNE de estrategias mixtas, pero es quizás más complicado de lo que se describe en los métodos 2. Para referencia, aquí hay algunas notas sobre el tema. Estas notas dan instrucciones sobre cómo resolver los equilibrios de Nash de estrategia pura utilizando la transformación que has dado. También demuestra cómo resolver los equilibrios de estrategia mixta utilizando el método 1. (Ver http://www.sas.upenn.edu/~ordonez/pdfs/ECON%20201/NoteBAYES.pdf.)

Referencia adicional

También puedes usar esta herramienta en línea para probar cómo los métodos pueden darte las mismas respuestas. Se trata de una herramienta para resolver los equilibrios de Nash de juegos n por n. Te recomendaría usar esta herramienta en los ejemplos dados en la sección anterior. Encontré esta herramienta referenciada en esta otra pregunta.

Answer 2

 

Esta respuesta es INCORRECTA. Cometí el error de aleatorizar acciones, no estrategias. Las probabilidades que describo como $p$ y $q$ no tienen por qué existir. Como señala @jmbejara en su excelente respuesta, el método que utilicé puede encontrar los equilibrios perfectos de subjuegos en un juego secuencial. Este no es el caso en este problema, por lo que el método fue definitivamente utilizado incorrectamente. Lo que sigue a este bloque de citas es la respuesta incorrecta.

El método 1 parece ser el correcto.

La razón por la que el método dos es incorrecto es que las probabilidades $a$, $b$ y $c$ no son independientes ya que $$a = p \cdot q, \hskip 20pt b = p \cdot (1 - q), \hskip 20pt c = (1 - p) \cdot q, \hskip 20pt 1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q).$$ Por ejemplo, no podrías tener una estrategia para el jugador 1 donde $a$, $b$ y $c$ son $\frac{1}{3}$, porque eso implicaría $$1 - a - b - c = 0.$$ Pero dado que $1 - a - b - c = (1 - p) \cdot (1 - q)$ esto significaría que $p$ o $q$ es uno. Entonces $b$ o $c$ también serían 0, por lo que en realidad no podemos tener una estrategia donde todos son iguales a $\frac{1}{3}$.