Si se conoce el diferencial de cada uno de los activos de una cartera (y también se conoce la duración y el valor de mercado de estos activos), ¿existe alguna relación que permita deducir el diferencial de la cartera global que contiene estos activos?
Respuestas
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Hay que definir lo que se entiende por diferencial de la cartera. Aquí lo defino como si la cartera es en sí misma un solo bono y quieres calcular su diferencial de rendimiento sobre la tasa libre de riesgo $r$ . Aquí considero el rendimiento bruto de la amortización y el rendimiento al vencimiento. Usted elige cuál es mejor. De este modo, el diferencial resultante es comparable al de otros valores de renta fija con el mismo vencimiento y similar calidad crediticia.
Si tiene una cartera de $N$ valores de renta fija, cada uno con un diferencial de rendimiento $s_i$ Precio completo $p_i$ y el peso de la cartera $w_i$ entonces el diferencial de rendimiento de cada valor es igual a $s_i=y_i-r$ donde $y_i$ es el rendimiento de cada activo $i$ .
Podemos calcular $y_i$ si el precio total del activo $i$ es $p_i$ y el cupón del activo $i$ es $c_i$ utilizando la fórmula de amortización bruta
$y_i = c_i/p_i$
o se resuelve el YTM $y_i$ utilizando la fórmula estándar de precio y rendimiento
$p_i = \sum_{t=1}^T \frac{c_i}{(1+y_i)^t} + \frac{1}{(1+y_i)^T}$ .
BONOS A LA PAR
En el caso simplificado de que todos los activos tengan un precio a la par $p_i=1$ y tienen la misma fecha de vencimiento, tenemos $y_i=c_i$ . Tenga en cuenta que $\sum_{i=1}^N w_i = 1$ . Por lo tanto, el valor de la cartera total $p$ también es par como
$p= \sum_{i=1}^N w_i p_i = 1$
El total del cupón es $c = \sum_{i=1}^N w_i c_i$ . Como los bonos se cotizan a la par, el diferencial de rendimiento bruto de la cartera es igual a
$s = \sum_{i=1}^N w_i c_i - r$ .
Lo mismo ocurre si utilizamos el YTM en la definición del diferencial. Tenga en cuenta que si $c_i$ es el mismo para todos los activos, entonces $s=s_i$ ya que todos los diferenciales de rendimiento son iguales.
BONOS NO COTIZADOS A LA PAR
Cuando los bonos no se cotizan a la par, hay que encontrar el rendimiento de la cartera. Utilizando el rendimiento bruto de amortización se obtiene
$y = c/p-r$
y para el YTM hay que resolver $y$ utilizando
$p = \sum_{t=1}^T \frac{c}{(1+y)^t} + \frac{1}{(1+y)^T}$
donde $p, c$ son el valor de la cartera y el cupón definidos anteriormente. A partir de esto se puede obtener un diferencial de rendimiento $y-r$ . En este caso no se trata de una simple fórmula de los cupones. En su lugar, hay que calcular $c$ , $p$ para calcular $y$ y luego $s$ . Esto es sencillo de hacer en una hoja de cálculo. El diferencial de rendimiento de la cartera estará, por supuesto, relacionado con los valores del $y_i$ pero no en una fórmula simple.
Si los bonos tienen diferentes vencimientos, esto complica un poco las cosas, pero el método es básicamente el mismo. En este caso es preferible el YTM.
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Puntos
111
Si se tiene acceso a la duración del diferencial de cada activo de la cartera, es posible estimar el diferencial de la cartera. Se puede obtener una estimación aún mejor con las convexidades de los diferenciales. Sea $s^{*}$ sea el diferencial de la cartera. La observación clave es que cuando los bonos individuales se valoran a $s^{*}$ La suma de los cambios en los valores debe ser igual a cero. Por ejemplo, en un caso simple de dos bonos:
$$ \Delta \mbox{Spread} (A_1) \times \mbox{Spread Duration} (A_1) \times \mbox{Market Value} (A_1) + \Delta \mbox{Spread} (A_2) \times \mbox{Spread Duration} (A_2) \times \mbox{Market Value} (A_2)= 0 $$
Desde $\Delta \mbox{Spread} (A_i) = s^{*} - s_{A_i}$ , donde $s_{A_i}$ es el diferencial vigente en el activo $A_i$ podemos resolver para $s^{*}$ .
En palabras, el diferencial de una cartera es aproximadamente igual a la media ponderada de los diferenciales de los activos individuales, siendo las ponderaciones iguales a las ponderaciones de la duración del diferencial, tal como se ha definido anteriormente. Por ejemplo, dados dos bonos con valores de diferencial de 100bps y 30bps respectivamente, duraciones de diferencial de 3 y 6, y valores de mercado iguales, el diferencial de la cartera es de 53,3.
