Fallo del 1er teorema del bienestar con función de utilidad no creciente

Question

Quiero encontrar un ejemplo en el que la función de utilidad no sea creciente
pero sigue satisfaciendo que $u(x) \geq u(y)$ para todos $x \geq y$
y el primer teorema del bienestar falla.
Quiero demostrar esto en la caja de edgeworth no usando el proceso matemático.

¿La función de utilidad no creciente (no monótona) está relacionada con las propiedades de no saciedad?

Answer 1

Lo siguiente puede funcionar.

Que haya dos consumidores. El consumidor 1 tiene una utilidad estándar (convexa, continua y estrictamente creciente) y el consumidor 2 tiene una utilidad constante (es decir, es indiferente entre dos paquetes de consumo cualquiera). Esto sigue satisfaciendo su condición.

Entonces, dadas unas dotaciones, y unos precios arbitrarios, dejemos que el consumidor 1 maximice su utilidad. Entonces el consumidor 2 (por definición) también maximizará su utilidad, ya que es indiferente a todo. Esto dará lugar a un equilibrio competitivo.

Sin embargo, el único equilibrio eficiente de Pareto es cuando el consumidor 1 tiene todas las dotaciones, lo que no suele ser el caso.