Condición de concavidad estricta diagonal de Rosen

Question

Considere un juego con $n$ jugadores, con espacio de estrategia $S \subset \mathbb{R}$ , donde $S$ es un conjunto acotado, y el jugador $i$ función de recompensa $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$ . La condición de Rosen ( J. B. Rosen. Existencia y unicidad de puntos de equilibrio para juegos cóncavos de n personas. Econometrica, 33(3):520-534, 1965 ) para la unicidad del Equilibrio de Nash en un juego de n jugadores establece que el equlibrio será único cuando

1. función de recompensa $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$ es cóncavo en la propia estrategia
2. Existe un vector $\textbf{z}$ ( $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ tal que la función $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$ es estrictamente cóncavo en diagonal

$N$ denota el conjunto de jugadores.

Para definir el concepto de concavidad estricta diagonal, introducimos el "pseudogradiente" de la función $\sigma$ , definida con: \begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align} Entonces, la función $\sigma$ se dice que diagonalmente dominante en $\mathbf{s} \in S$ por el hecho de ser fijo $\mathbf{z} \geq 0$ si para cada $\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$ se mantiene lo siguiente: \begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}

Se demuestra, en el artículo que cito al principio, que una condición suficiente para $\sigma$ para ser diagonalmente cóncavo es que la matriz $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ es un defecto negativo para $\mathbf{s} \in S$ , donde $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ es el jacobiano del pseudogradiente $g$ con respecto a $\mathbf{s}$ . Utilizo ' para denotar la transposición de una matriz. ¿Cuál es la intuición detrás de la condición de concavidad estricta de la diagonal?

Answer 1

Así que quieres encontrar un máximo de $\sigma(s,z)$ . Si $\sigma$ es estrictamente cóncavo en diagonal, puedes hacerlo empezando en cualquier punto y siguiendo el gradiente $g(s,z)$ hasta encontrar el máximo y no importa dónde empiece, siempre acabará en el mismo punto (Empiece en los puntos negros más bajos y siga la dirección de la pendiente (la dirección de la subida más pronunciada)).

Sin embargo, si $\sigma$ no es estrictamente cóncavo en diagonal, podrías acabar en diferentes máximos empezando en un punto arbitrario y siguiendo el gradiente (Sigue la dirección de la subida más pronunciada empezando por los dos puntos negros inferiores; acabarás en dos puntos diferentes).

Answer 2

La propiedad de concavidad diagonalmente estricta es más conocida como la monotonicidad estricta propiedad del pseudogradiente.

Un operador $\Psi:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es estrictamente monótona si se cumple lo siguiente $$\forall x_0, x_1 \in \mathbb{R}^n: \left< x_0 - x_1, \Psi(x_0) - \Psi(x_1) \right> >0. $$

En su caso $\Psi$ sería $g$ . La intuición detrás de esto es que para cada línea de $R^n$ la proyección de $\Psi$ en esa línea es estrictamente monótona.

Añado aquí un ejemplo: la función de pago viene dada por $\varphi_i$ para ambos jugadores $i \in {1,2}$ .