Resolución de una SDE mediante el lema de Ito

Question

Supongamos que

$Z(t)=e^{-\int_0^t \theta'(s)dW(s)-\frac{1}{2}\int_0^t ||\theta(s)||^2ds}$

con $\theta()=\sigma^{-1}()[b()-r()]$ , $\sigma()>0$ y invertible y $W()$ un proceso Wiener

También hay un proceso $V^{w,h}$ para describir la riqueza de un inversor tal que

$\frac{V^{w,h}(t)}{B(t)}=w+\int_0^t\frac{h'(s)}{B(s)}\sigma(s)[dW(s)+\theta(s)ds]$

con $0\le t\le T$ , $w$ siendo la riqueza inicial y $A(w)=\{h()/V^{w,h}()\ge 0\}$ casi seguro.

¿Puede ayudarme a demostrar que $\frac{V^{w,h}(t)}{B(t)}Z(t)=w+\int_0^t\frac{Z(t)}{B(s)}[V^{w,h}(s)(\theta(s))'-h'(s)\sigma(s)]dW(s)$ ?

Soy nuevo en el cálculo estocástico y no sé cómo aplicar correctamente el Lemma de Ito

Answer 1

Pistas:

Utilizar el teorema de Ito para $\ln Z_t$ para conseguirlo:

$$dZ_t = -\theta_t Z_t dW_t $$

A continuación, utilice la regla del producto para calcular $d(U_tZ_t)$ . Presenté $U_t:=V_t B_t^{-1}$ para mantener las cosas más limpias.

$$dU_t = h'_t B_t^{-1}\sigma_t dW_t + h'_t B_t^{-1}\sigma_t \theta_t dt $$

$$ dU_t\cdot dZ_t = -h'_t B_t^{-1}\sigma_t \theta_t Z_t dt $$

$$ d(U_tZ_t) = U_tdZ_t + Z_tdU_t +dU_t\cdot dZ_t$$