¿Por qué podemos suponer que las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen normalmente (o lognormalmente)?

Question

En muchas teorías de las matemáticas financieras se supone que las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen normalmente (por ejemplo, los modelos VaR) o se distribuyen lognormalmente (por ejemplo, el modelo Black-Scholes). En la práctica, las tasas de rendimiento de los activos no se distribuyen normalmente ni lognormalmente. Es fácil comprobarlo descargando series temporales de precios de activos seleccionados, calculando las tasas de rendimiento seleccionadas y realizando pruebas estadísticas como la prueba de Kolmogorov-Smirnov o la prueba de Shapiro-Wilk. También existe un debate académico sobre este tema:

Kjersti Aas, "To log or not to log: La distribución de los rendimientos de los activos"

Resumen:

"En el contexto de la medición del riesgo de mercado, la variable aleatoria se toma como la tasa de rendimiento de un activo financiero. Se puede definir el rendimiento de diferentes maneras, las dos más comunes son el rendimiento aritmético y el geométrico. La distinción entre estos dos tipos de rendimientos no se entiende bien. A menudo se supone que son aproximadamente iguales. Además, se supone que ambos se distribuyen normalmente. En este artículo explicamos la diferencia. Demostramos que ambos tipos no pueden distribuirse normalmente, y que la diferencia crece a medida que aumenta la volatilidad del activo financiero y disminuye la resolución temporal."

Pregunta:

¿Por qué podemos suponer que las tasas de rendimiento de los activos se distribuyen normalmente (o lognormalmente) si las pruebas empíricas y estadísticas muestran que no es cierto? ¿Cómo se puede justificar?

Answer 1

En el sentido coloquial de la palabra "justificado", no está justificado. Describiré por qué se justifica matemáticamente y en qué circunstancias y en qué caso no se justifica.

Permítanme comenzar con la más simple de las ecuaciones $$\tilde{w}=R\bar{w}+\epsilon,\epsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2).$$ Supongamos que esta ecuación es un elemento de nuestro problema. Desde un modelo estático, se corresponde con $w_{t+1}=Rw_t+\epsilon_{t+1}.$ A través de la invariancia de escala de Donsker, se puede demostrar que esto, a su vez, podría ser mapeado a un modelo de tiempo continuo, pero no lo haremos aquí ya que no añadirá ningún valor a la discusión.

Utilizando el cálculo de Ito o el de Stratonovich, podemos resolver correctamente una gran variedad de problemas, aunque ambos métodos de cálculo suponen que se conocen todos los parámetros. Se trata de un supuesto muy importante porque la ecuación anterior no tiene solución dentro de los axiomas frecuentistas y sigue siendo coherente con las finanzas de varianza media.

Para entender por qué, si $R$ es desconocido, entonces Mann y Wald han demostrado que el estimador de máxima verosimilitud es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios para cualquier $\epsilon$ extraído de cualquier distribución centrada en cero con una varianza definida y fija. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si $R<1$ Entonces, el capital se reducirá a cero. Si $R=1$ entonces se deduce que $R$ es esencialmente moneda y no devenga intereses, por lo que nadie "invertiría" en ella, aunque sí puede tener dinero por otras razones. Debe darse el caso de que $R>1$ .

Esperar un rendimiento positivo no es algo sorprendente. El estimador de $R$ es el estimador de mínimos cuadrados en todas las circunstancias, por lo que es a la vez el mejor estimador en el método estadístico basado en la verosimilitud de Fisher y en el método estadístico frecuentista de Pearson y Neyman. Hasta aquí, todo bien.

La pregunta es entonces, "¿cuál es la distribución muestral de $\hat{R}$ ?"

Este es el problema. White, en 1958, pudo demostrar que la distribución límite es la distribución de Cauchy, que no tiene ni media ni, por consiguiente, varianza. Cualquier uso de los mínimos cuadrados tiene un poder nulo para encontrar el parámetro.

En otras palabras, si los modelos de media-varianza son verdaderos, no puede existir una prueba para medirla con potencia positiva, ya que los métodos sin distribución disponibles son la regresión polinómica de Thiel y la regresión cuantílica. Ambos se basan en la mediana.

Así, si se asume la normalidad, los modelos son válidos si se cumplen todos los supuestos, incluidos los modelos con una distribución normal. Matemáticamente, los modelos son válidos pero inaplicables a un mundo en el que los parámetros no se conocen con certeza.

He propuesto un nuevo cálculo estocástico que domina estocásticamente de primer orden los métodos de Ito, pero ahora mismo está en revisión por pares. Intentaré acordarme de volver y publicar si se publica. He eliminado la suposición del cálculo de Ito de que los parámetros son conocidos y he propuesto un cálculo estocástico bayesiano y frecuentista.

Si los parámetros son desconocidos, entonces es posible derivar la distribución de los rendimientos. Esto es así porque si $$r_t=\frac{p_{t+1}q_{t+1}}{p_tq_t}-1,$$ entonces $r$ es una función de los precios y las cantidades, que son datos. La definición de una estadística es cualquier función de datos. Como tal, los rendimientos no son datos; son estadísticas. Su distribución debe derivarse.

Como $r$ es el producto de las relaciones de precios y de la relación de cantidades, entonces $r$ es la suma de los ratios de precios por los estados existenciales en los que podrían acabar las cantidades. Nótese también que acabamos de ignorar los dividendos y los costes de liquidez. Esto es desacertado, pero haría de este un post muy largo, muy largo.

Los estados existenciales son la quiebra donde $q_{t+1}=0$ , fusiones de efectivo por acciones en las que $q_{t+1}=w$ , las fusiones por acciones en las que $q^f_{t+1}=kq^j_{t+1},$ y el estado de empresa en funcionamiento en el que $q_{t+1}=mq_t$ donde $m$ corrige las divisiones y los dividendos de las acciones.

El resto se refiere a la relación de precios. La distribución de los precios puede obtenerse combinando la teoría de las subastas con las condiciones del contrato o del activo. Así, las antigüedades deberían tener una rentabilidad diferente a la de las acciones, que deberían tener una rentabilidad diferente a la de los bonos.

Por la teoría de las subastas, en equilibrio, sabemos que en una subasta doble no hay maldición del ganador, por lo que la solución óptima es que cada licitador oferte su expectativa. La distribución muestral de muchas expectativas es la distribución normal. A efectos de argumentación aquí estoy ignorando los mercados finos porque la respuesta sale igual, pero se necesitan otras cuarenta páginas de pruebas.

Si nos limitamos al caso en que $q_t=q_{t+1}$ e imponer un supuesto de equilibrio, que es demasiado restrictivo, pero de nuevo, es una cuestión de longitud de discurso, entonces los rendimientos son la relación de dos distribuciones normales que se truncan en -100%.

Si se tratan los precios de equilibrio como (0,0) traduciéndolos como $p_t-p_t^*,\forall{t}$ entonces, por teoremas bien conocidos, la distribución de los rendimientos convergerá a la distribución de Cauchy, aunque truncada.

Para el caso de empresa en funcionamiento, la distribución de los rendimientos, ignorando los dividendos y sin corregir los costes de liquidez, debe ser $$\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}-1.$$

Si quieres probarlo, te sugiero que descargues los precios diarios de Carnival Cruise Lines. Construya los rendimientos diarios corrigiendo los fines de semana. Construya la distribución predictiva posterior bayesiana y verá que se solapa casi perfectamente con la estimación de la densidad del núcleo.

El problema de utilizar la distribución normal es que la distribución de Cauchy no tiene momentos primeros o superiores definidos. La consecuencia de esto es que las estimaciones de $\beta$ carecen por completo de potencia y tienen una ineficiencia relativa asintótica perfecta cuando se comparan con cualquier estimador válido de la mediana.

Con respecto a la distribución logarítmica normal, todo lo mencionado anteriormente sigue siendo válido. Como los modelos log-normales pueden derivarse de los modelos normales, nada es diferente. Por ejemplo, se puede derivar el Black-Scholes del modelo de valoración de activos de capital. Esto se debe a que, mientras que la distribución normal asume errores aditivos, se pueden convertir en errores multiplicativos con un cambio de modelo, observando la relación entre las ecuaciones de diferencia y los modelos que utilizan construcciones exponenciales.

Esta observación contraintuitiva depende del conocimiento de los parámetros. Cuando se desconocen, la naturaleza cóncava del logaritmo dará un resultado diferente.

Ver

Curtiss, J.H. (1941) On the Distribution of the Quotient of Two Chance Variables. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.

Gurland, J. (1948) Inversion Formulae for the Distribution of Ratios. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237.

Harris, D.E.(2017) La distribución de los rendimientos. Revista of Mathematical Finance, 7, 769-804.

Marsaglia, G. (1965) Ratios of Normal Variables and Ratios of Sums of Uniform Uniformes. Journal of the American Statistical Association, 60, 193-204.

Marsaglia, G. (2006) Ratios of Normal Variables. Journal of Statistical Software, 16, 1-10.

Mann, H. y Wald, A. (1943) On the Statistical Treatment of Linear Stochastic lineales estocásticas. Econometrica, 11, 173-200.

White, J.S. (1958) La distribución límite del coeficiente de correlación serial en el caso de los explosivos. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197.

Answer 2

Se justifica porque se obtiene una información mejor que la que se tiene sin ella.

Por ejemplo, puede hacer la suposición y reconocer alguna inexactitud en su modelo. La inexactitud de fijar el precio de una swaption basándose en la suposición de normalidad (o lognormalidad) le deja en una posición mucho mejor que no tener ninguna suposición, ni ningún modelo para empezar.

Para corregir la inexactitud se introducen vol skews que afirman un nivel de curtosis de la distribución diferente al de la normalidad (o lognormalidad). Por lo tanto, usted está de nuevo en una posición más informada.

Puede que nunca encuentre la verdad absoluta, pero es muy posible que encuentre alguna verdad que le permita obtener un beneficio o que le permita un marco para la gestión del riesgo de una cartera de creación de mercados.

Answer 3

La terrible verdad es que asumimos que los rendimientos que son ópticamente bastante cercanos a la (log)normal son realmente (log)normales, porque hace que las matemáticas asociadas para resolver casi cualquier problema práctico posterior asociado a los rendimientos sean mucho, mucho más sencillas.

Por no hablar de la pequeña cuestión de sustituirlas por "algo mejor". Las ecuaciones de movimiento de Newton son, igualmente, "casi correctas"; pero durante unos 100 años, los físicos sabían que "no eran del todo correctas". Sin embargo, se quedaron con Newton, porque era universalmente reconocido, y no tenían nada mejor que usar en su lugar (al menos que la gente pudiera acordar). Hasta la relatividad, que rápidamente se convirtió en una farsa con todas las discusiones sobre la mecánica cuántica...

Por último, tenga en cuenta que los rendimientos de los activos podrían seguir teniendo una distribución (log)normal. Sólo hay un error de medición de la inflación al utilizar los rendimientos nominales; ¡o cualquiera de nuestras estimaciones de cuál es la distorsión de la inflación en cualquier/todos los puntos del tiempo! La correlación serial de estos errores de medición podría causar todos los tipos de efectos que hacen que el S&P, etc., no pase las pruebas KS, etc.

Sólo lo digo ;-)

DEM