Estoy considerando un ejemplo en el que hay dos mercancías y tres conjuntos de presupuestos $(\mathbf{p}^{(n)},w^{(n)}),n=1,2,3$ . Si asumimos $\mathbf{p}^{(n)} \cdot \mathbf{x}(\mathbf{p}^{(n+1)},w^{(n+1)}) \leq w^{(n)}$ para $n=1,2$ y que el WARP es válido para cualquier par de paquetes, ¿cómo puedo demostrar que el SARP es válido?
Gráficamente, es fácil convencerse de que la afirmación es válida, pero me gustaría explorar una prueba más rigurosa.
Que el WARP es equivalente al SARP para dos bienes es un resultado de Rose (1958), "Consistency of Preference: The Two-Commodity Case" . Aunque la prueba no es tan difícil, es demasiado larga para exponerla aquí.
Hace unos años, escribí un artículo (Transitividad de las preferencias: ¿cuándo importa?) que da las condiciones exactas bajo las cuales WARP y SARP son equivalentes. Puede encontrar la versión publicada aquí . Una condición necesaria y suficiente resulta ser lo que llamamos una condición triangular. Se reduce a la exigencia de que para tres vectores de precios cualesquiera, uno de los tres vectores de precios debe estar por debajo o por encima de una combinación lineal de los otros dos vectores de precios. Esto se cumple siempre en el caso de dos productos básicos. De nuevo, la prueba no es muy complicada, pero es demasiado larga para reproducirla aquí.
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