¿Cuánto afecta un aumento de la volatilidad en una opción a corto plazo a una opción a largo plazo?

Question

¿Cómo afectaría un aumento de la volatilidad implícita en una opción a corto plazo a la volatilidad implícita de otra opción a corto plazo con el mismo strike, pero con un vencimiento ligeramente más largo?

Suponiendo que el aumento de la volatilidad a corto plazo se deba a un evento completamente contenido en el tiempo de la opción a corto plazo.

Aquí está mi intento de hacerlo:

Dejemos que $s$ y $\ell$ ser la DTE de las opciones a corto y largo plazo.

Dejemos que $V_s$ sea la volatilidad implícita de la opción a corto plazo ahora, y $V_\ell$ es la volatilidad de la opción a largo plazo.

Como las varianzas son aditivas, deberíamos ser capaces de calcular $V_{\ell-s}$ la volatilidad implícita entre el vencimiento de la opción a corto plazo y el vencimiento de la opción a largo plazo, ¿verdad? $$V_{\ell-s}^2 = V_{\ell}^2 - \frac{s}{\ell}V_s^2$$

Entonces, si $V_s$ se eleva a $V_{s*}$ entonces $V_{\ell}$ debe subir a $V_{\ell*}$ donde

$$ (V_{\ell*})^2 = \frac{s}{\ell}V_{s*}^2 + V_{\ell-s}^2 $$

Dándonos:

$$ (V_{\ell*})^2 = \frac{s}{\ell}\left(V_{s*}^2 - V_s^2\right)+ V_{\ell}^2 $$

Desde un punto de vista más práctico, tengo curiosidad por saber cómo se traduce esto en el valor de las opciones. He estado leyendo sobre cómo los diferenciales de calendario no siempre son estrategias de largo plazo?

Answer 1

Respuesta corta : Creo que la cuantificación del impacto de un aumento de la vol. a más corto plazo sobre la vol. a más largo plazo depende del tipo de función de vol. que seleccionemos para modelar la estructura temporal de la vol. de las opciones.

Respuesta larga (centrándose en la función de estructura temporal de la volatilidad a destajo):

Las varianzas de los rendimientos logarítmicos en el modelo GBM son proporcionales al incremento de tiempo debido a la propiedad de escala del movimiento browniano (es decir, una suposición inherente al modelo):

$$ln\left(\frac{ S_{t_{i+1}}}{S_{t_{i}}}\right)=(\mu+0.5\sigma^2)(t_{i+1}-t_i)+\sigma W(t_{i+1}-t_i)\overset{d}{=}(\mu+0.5\sigma^2)(t_{i+1}-t_i)+\sigma \sqrt{t_{i+1}-t_i}Z$$

En el modelo GBM, cada opción con vencimiento $T_i$ tendría su propia volatilidad BS $\sigma_{T_i}$ . Para calcular cómo un aumento en un plazo más corto $\sigma_{T_i}$ afecta a un cambio en algunas fechas más largas $\sigma_{T_i}$ podríamos mapear los vols de la BS en alguna función vol dependiente del tiempo $\tilde{\sigma}(t)$ :

$$\sigma_{T_i}T_i=\int_{h=0}^{h=T_i}\tilde{\sigma}(h)dh$$

Si asumimos que la constante a trozos $\tilde{\sigma}(t)$ obtendremos:

$$\sigma_{T_i}T_i=\sum_{j=1}^{i}\tilde{\sigma}_j(T_{j}-T_{j-1})$$

Entonces, nos encontramos con:

• $\sigma_{T_1}^2T_1=\tilde{\sigma}^2_1T_1$
• $\sigma^2_{T_2}T_2-\tilde{\sigma}^2_1T_1=\tilde{\sigma}^2_2(T_2-T_1)$
• $\sigma^2_{T_n}T_n-\sum_{j=1}^{j=n-1}\tilde{\sigma}_j^2(T_j-T_{j-1})=\tilde{\sigma}^2_{T_n}(T_n-T_{n-1})$

Centrándose en $T_2$ y $T_1$ para simplificar, suponiendo $\sigma_{T_1}$ sube (para que $\tilde{\sigma}_1$ también sube), pero la volatilidad de la pieza hacia adelante $\tilde{\sigma}_2$ entre $T_2$ y $T_1$ no cambia, el nuevo valor de la volatilidad de la BS (que denota $\sigma_{T_2}^*$ ) para la opción que vence en $T_2$ sería:

$$(\sigma_{T_2}^*)^2T_2=\left(\tilde{\sigma}_{1}+\delta_{\tilde{\sigma}_1}\right)^2 T_1+\tilde{\sigma}_2^2(T_2-T_1)$$

La diferencia entre $\sigma_{T_2}^*$ y el valor antiguo $\sigma_{T_2}$ es entonces simplemente:

$$\delta_{\sigma_{T_2}}=\sqrt{(\sigma_{T_2}^*)^2-\sigma_{T_2}^2}=\sqrt{\frac{T_1}{T_2}(2\tilde{\sigma}_1\delta_{\tilde{\sigma}_1}+\delta_{\tilde{\sigma}_1}^2)}$$

Para calcular el impacto en el valor de la opción que vence en $T_2$ podríamos introducir la cantidad $\delta_{\sigma_{T_2}}$ en la opción Vega.

Si asumimos una función de volatilidad diferente a la constante, la cantidad $\delta_{\sigma_{T_2}}$ sería diferente.