¿Puede alguien explicar la intuición que hay detrás de la ecuación de Black-Scholes?

Question

Considere la ecuación de Black-Scholes para una opción de compra europea, \begin{equation} \begin{cases}\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r\frac{\partial V}{\partial S} -rV = 0, \ &\text{for} \ (S,t)\in\mathbb{R}^+\times[0,T] \\ V(S,T) = \max(S-K,0), &\text{for} \ S\in\mathbb{R}^+ \\ V(0,t) = 0, &\text{for} \ t\in[0,T] \\ V(S,t) = S - Ke^{-r(T-t)}, &\text{as} \ S\rightarrow \infty, t\in[0,T] \end{cases} \end{equation} donde $\sigma$ es la volatilidad del subyacente (la acción), $r$ es el tipo de interés, $K$ es el precio de ejercicio, $T$ es el tiempo de vencimiento de la opción, $S$ es el precio actual de las acciones, y $V(S,t)$ es el valor de la opción.

¿Por qué el modelo Black-Scholes utiliza una condición final en $t = T$ ¿Por qué se resuelve hacia atrás en el tiempo? A mi entender, Black-Scholes debería resolver el valor de $V(S,t)$ para todos $t\in[0,T)$ para el precio actual de las acciones $S$ . Por lo tanto, ¿cómo podemos saber el valor de $V(S,T) = \max(S-T,0), \text{for} \ S\in\mathbb{R}^+$ ? Además, ¿por qué nos interesa resolver para $V(S,t), \text{for} \ t<T$ si una opción europea sólo puede ejercerse en el momento del vencimiento $t=T$ ?

Answer 1

Por lo tanto, ¿cómo podemos saber el valor de V(S,T)=máx(ST,0), para SR+?

Se conoce el valor en el momento T en función de S: es simplemente el pago, que es $\max(S-K,0)$ , donde $K$ es una huelga.

Además, ¿por qué nos importa resolver para V(S,t), para t<T si una opción europea sólo puede ejercerse en el momento del vencimiento t=T?

No, no nos interesa el valor en el momento T. Es trivial como he mostrado arriba. Estamos interesados en el valor en este momento $V(S,0)$ o en el futuro antes de madurez $T.

Answer 2

En cuanto a la configuración, conocemos el precio actual de las acciones, hemos supuesto que la dinámica del precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico (GBM), conocemos los parámetros de este proceso (volatilidad, etc.) y conocemos las características de las opciones (tipo de opción, vencimiento). En la práctica, también conocemos el precio actual de la opción, pero hacemos como si no lo supiéramos, o podemos decir que queremos que el modelo reproduzca este precio, por lo que conocer el precio no importa. Con este contexto, he aquí algunas notas:

Como ha señalado correctamente, el pago de las opciones europeas se produce al vencimiento: $\max \left(S_T-K,0\right)$ para una opción de compra y $\max \left(K-S_T,0\right)$ para una opción de venta. Por lo tanto, si conocemos el precio de las acciones al vencimiento, conocemos el pago y sabremos cuánto vale la opción al vencimiento. Pero tenemos que averiguar cuánto vale esta opción hoy para poder determinar el precio justo a la hora de comprar o vender. Hay dos maneras de hacerlo:

1. Se puede simular el valor de la acción al vencimiento (utilizando la dinámica del GBM), y luego promediar el resultado según la distribución de probabilidad pertinente, y luego descontarlo a hoy para obtener el precio. La razón por la que tenemos que simular el precio al vencimiento es porque el resultado de la opción depende del precio de las acciones al vencimiento, y podemos simular el precio de las acciones utilizando la dinámica (GBM) que asumimos.
2. Una forma equivalente es enfocar el problema en términos de determinista y resolverlo con métodos numéricos. Esta equivalencia entre el enfoque estocástico y la EDP es una consecuencia de un resultado más general, pero podemos dejarlo de lado por por ahora. El razonamiento simple es el siguiente. Los términos de los contratos de opciones nos dan la condición terminal (el pago al vencimiento), por lo que se puede trabajar hacia atrás. Si suponemos que conocemos el precio de las acciones al vencimiento (¡basta con saber que puede estar entre 0 y 1 millón!), podemos podemos calcular el valor de la opción al vencimiento. A partir de estos precios al vencimiento, podemos calcular los valores en el paso anterior paso (la EDP que tiene se encarga de la probabilidad/pesos de de los movimientos de un paso de tiempo al siguiente, suponiendo que el tamaño del paso es muy pequeño).

Ahora, centrándonos en el enfoque nº 2 anterior, sabemos que el precio de las acciones al vencimiento puede ser cualquier cosa desde cero hasta el infinito, pero entonces la probabilidad suele concentrarse en una región relativamente pequeña, por lo que el rango no es tan amplio como uno podría pensar. Pero el método numérico no sabe esto. Así que, alternativamente, si usted tiene, digamos, una opción de compra con un strike de 100, entonces si el precio de las acciones resulta ser de 1 billón, ¿importa el strike de 100 en tales situaciones? Y el precio de las acciones no puede ir por debajo de cero, y la opción no paga cuando el precio de las acciones está por debajo de K, por lo que puede asumir con seguridad las siguientes condiciones de contorno.

• Para los grandes S, $V\left(t,S\right) \approx S$
• Para S. muy pequeña, $V\left(t,S\right) \approx 0$

Consideraciones similares dan las condiciones de contorno para la opción de venta. Por supuesto, he simplificado muchos tecnicismos en las notas anteriores, pero espero que sea intuitivo.