Concavidad de la función de utilidad de Cobb-Douglas en un conjunto no abierto

Question

Mi libro de texto argumenta que la función de utilidad Cobb-Douglas $u=(x1)^a(x2)^b$ con $a,b>0$ y $a+b<1$ es cóncava en $R2+$ al computar el Hessiano y mostrar que es negativo semidefinido para todos los puntos en $R2+$.

Sin embargo, siento que este método es defectuoso porque $R2+$ no es un conjunto abierto. Una función es cóncava en el conjunto $A$ si y solo si su Hessiano es negativo semidefinido para todos los $x$ en $A$, pero se asume que $A$ es un conjunto abierto y convexo. Esto no se cumple, por lo que la metodología anterior parece defectuosa. ¡Estoy confundido con esto, así que realmente apreciaría algo de ayuda por favor!

Para referencia, el libro de texto que estoy usando es este: https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/cvn/t

Answer 1

Supongo que la notación $\mathbb R^2_+$ se refiere a $[0,\infty)^2$.

Tenga en cuenta que el conjunto en el cual una función está definida no necesariamente debe ser el mismo conjunto en el cual una función es diferenciable. En particular, es típico que los requisitos de diferenciabilidad se impongan en conjuntos abiertos (ver, por ejemplo, el teorema fundamental del cálculo). Esto se debe a que definir diferenciabilidad en puntos de frontera requiere cuidado adicional que generalmente no es necesario para el problema en cuestión (como definir la concavidad de una función a través de la matriz Hessiana).

La función Cobb-Douglas está definida en $\mathbb R^2_+=[0,\infty)^2$, (también es continua en ese dominio), y es diferenciable en $(0,\infty)^2$, que es abierto y convexo.