Forma de especificación de la función de utilidad de los hogares

Question

¿Qué determina la elección de la forma funcional que debe adoptarse para la función de utilidad CRRA del hogar, cuando la utilidad depende del consumo y del ocio?

Por ejemplo, tenemos estas tres especificaciones funcionales:

• $U(c,l)=\left[\dfrac{c^ l^{1-}}{1-}\right]^{1-}$

• $U(c,l)=\dfrac{c^{1-}}{1-}+\alpha \dfrac{(1-N)^{1-}}{1-}$

• $U(c,l)=\dfrac{c^{1-}}{1-}-\alpha \dfrac{N^{1-}}{1-}$

c: consumo, l: ocio, N: trabajo suministrado. Dotación total de tiempo: unidad

Answer 1

En los modelos de crecimiento, para obtener un estado estacionario en las tasas de crecimiento (es decir, una tasa de crecimiento constante en el equilibrio a largo plazo), la función de utilidad de la CRRA cuando está presente la elección trabajo-ocio debe tener una forma funcional específica.

La prueba matemática se encuentra en Libro de Barro y Sala-i-Martin (2ª ed) Anexo 9.4, pp. 427-428.

Se demuestra que la función de utilidad CRRA debe adoptar la forma ( $\ell$ representa trabajo aquí)

$$u(c,\ell) = \frac {c^{1-\theta}\cdot \exp\{(1-\theta)\cdot \omega(\ell)\}-1}{1-\theta}$$

donde $\omega(\ell)$ es una función del trabajo, y $\omega'(\ell)<0$ .

Para $\theta=1$ esto se simplifica a $u(c,\ell)=\ln(c) + \omega(\ell)$ .

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Después de imponer la separabilidad aditiva, la forma funcional exacta del componente relacionado con el ocio/trabajo se forma a veces para tener una constante Elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo Por ejemplo

$$u(c,\ell) = \ln(c) +\alpha \frac {(1-\ell)^{1+1/v}}{1+1/v}$$

tiene una elasticidad de Frisch igual a $v$ libre de $\ell$ . Ver este hilo para obtener más detalles al respecto.

La elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo se define como la elasticidad del trabajo manteniendo constante la utilidad marginal de la riqueza . Su expresión se deriva dado la solución del problema de maximización de la utilidad (es decir, utilizando las relaciones que surgen de las condiciones de optimización). Tras algunas manipulaciones, esta expresión es

$$\eta_F = \frac {U_{\ell}\cdot U_{cc}}{\ell\cdot [U_{cc}\cdot U_{\ell \ell}-U^2_{c \ell}]}$$

Bajo la separabilidad entre consumo y trabajo/ocio,

$$U^2_{c \ell} = 0 \implies \eta_F = \frac {U_{\ell}}{\ell\cdot U_{\ell \ell}}$$

Para utilizar una de las formas funcionales de la OP

$$U(c,N)=\dfrac{c^{1-}}{1-}-\alpha \dfrac{N^{1-}}{1-}$$

tenemos

$$U_{N} = -\alpha N^{-\gamma},\;\;\; U_{NN} = \alpha \gamma N^{-\gamma-1}$$

así que

$$\eta_F = \frac {-\alpha N^{-\gamma}}{N\cdot \alpha \gamma N^{-\gamma-1}} = -\frac 1 {\gamma}$$

Así, las formas funcionales que conducen a una elasticidad de Frisch constante, la tratan como un parámetro de preferencia "profundo". Las formas funcionales que conducen a una elasticidad de Frisch que incluye (el óptimo ) del trabajo (como es la primera forma funcional de la OP), tratarla como una medida derivada, dependiente también del marco de optimización.