Yo lo enfocaría construyendo un modelo de equilibrio general de la economía. Esta es la idea de alto nivel:
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Existe un único bien de consumo perecedero y todos los precios se miden en función de él.
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Se trata de una empresa totalmente financiada con fondos propios y con una unidad de acción en circulación. La empresa paga un dividendo continuo a una tasa estocástica $\delta$ . Se podría, por ejemplo, empezar con un movimiento browniano geométrico \begin{equation} \mathrm{d}\delta_t = \mu \delta_t \mathrm{d}t + \sigma \delta_t \mathrm{d}W_t \end{equation}
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Existe un continuo de individuos idénticos con aversión al riesgo que maximizan su utilidad vitalicia esperada \begin{equation} \mathbb{E}_{\mathbb{P}} \left[ \int_0^\infty e^{-\rho v} u \left( C_v \right) \mathrm{d}v \right] \end{equation} eligiendo, en cada momento, sus composiciones óptimas de consumo y de cartera. Aquí, $u \left( C_t \right)$ es su utilidad de consumo y $\rho$ es su tasa de preferencia temporal. Puede tratarlos como un "agente representativo".
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Puede introducir derivados adicionales en su economía que tengan una oferta neta nula y cuyos pagos sean medibles con respecto a la filtración generada por $W$ . Un ejemplo trivial son los bonos de cupón cero.
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Se encuentra el equilibrio competitivo que resuelve el problema de maximización de la utilidad esperada de los agentes. En este equilibrio, el agente representativo tiene la unidad de acciones, no tiene derivados y su consumo es igual al dividendo $C_t = \delta_t$ .
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En el equilibrio se obtiene la dinámica del precio de las acciones, así como las funciones de valoración de todos los derivados (y, por tanto, una tasa libre de riesgo). En mi ejemplo anterior, verás que el precio de las acciones también sigue un movimiento browniano geométrico.
Tenga en cuenta que hay muchas maneras de configurar una economía de este tipo y a menudo sus supuestos serán un poco de ingeniería inversa del resultado deseado. Sin duda, podrías añadir otras cosas, como la producción, para que tu configuración sea más realista. Aquí tienes algunas referencias para empezar:
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La configuración anterior es la versión de difusión pura de la economía de intercambio de Naik y Lee (1990). Consideran un modelo de difusión de saltos de Merton. Se han utilizado muchas variaciones de este modelo para encontrar cambios de medida con motivación económica para los procesos de Levy, véase, por ejemplo, Milne y Madan (1991) para el modelo de varianza gamma o Kou (2002) para el modelo de difusión de saltos doblemente exponencial.
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Una buena referencia para el tema general del consumo en tiempo continuo y la elección de cartera son los libros de Back (2010) y Pennacchi (2008).
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Uno de los trabajos que frenan el terreno es el de Cox et al. (1985). Construyen una economía de producción multifactorial muy general. Sin embargo, este documento es una lectura difícil.
Referencias
Back, Kerry E. (2010) "Asset Pricing and Portfolio Choice Theory", Financial Management Association Survey and Synthesis Series: Oxford University Press
Cox, John C., Jonathan E. Ingersoll y Stephen y Stephen A. Ross (1985) "An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices", Econometrica, Vol. 53, No. 2, pp. 363-384
Kou, Steven G. (2002) "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing", Management Science, Vol. 48, nº 8, pp. 1086-1101
Milne, Frank y Dilip B. Madan (1991) "Option Pricing with V.G. Martingale Components", Mathematical Finance, Vol. 1, nº 4, pp. 39-55
Pennachi, George G. (2008) "Theory of Asset Pricing", Pearson
