El beta de la cartera en el sentido convencional es simplemente la suma de los coeficientes beta ponderados para cada activo en la cartera.
¿Es lo mismo para el beta al alza y a la baja de la cartera, donde simplemente puedo tomar los betas al alza ponderados de cada activo y sumarlos para encontrar el beta al alza de la cartera? ¿Y lo mismo para encontrar el beta a la baja de la cartera? No estoy seguro si hay algo que me impida hacer esto. 
A continuación, describo tres casos:
Supongamos una cartera de $n$ activos con pesos $w_1+\ldots+w_n=1$. Recopilamos los pesos en el vector $w$ y los rendimientos de cada activo en el vector $r$, es decir, $r_p=w^Tr$. Cada activo tiene $\beta_i=Cov(r_i,r_m)/Var(r_m)$, y recopilamos todos los betas en el vector $b$. Dada la definición de $\beta$, el beta de tu cartera $$ \begin{align} \beta&\equiv\frac{Cov(r_p,r_m)}{Var(r_m)}\\ &=\frac{Cov(w^Tr,r_m)}{Var(r_m)}\\ &=\frac{Cov(w_1r_1+\ldots w_nr_n,r_m)}{Var(r_m)}\\ &=\frac{w_1Cov(r_1,r_m)+\ldots+w_nCov(r_n,r_m)}{Var(r_m)}\\ &=w_1\beta_1+\ldots+w_n\beta_n\\ &=w^Tb \end{align} $$ y así, como has escrito, $\beta_p=\sum_i w_i\beta_i$.
Reescribamos la covarianza como $$ \begin{align} \beta_m^+(\theta)&\equiv \frac{Cov(r_p,r_m|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &= \frac{E((r_p-E(r_p|r_m>\theta))(r_m-E(r_m|r_m>\theta))|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &=\frac{E(r_pr_m|r_m>\theta)-E(r_p|r_m>\theta)E(r_m|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &=\frac{E((w_1r_1+\ldots+w_nr_n)r_m|r_m>\theta)-E((w_1r_1+\ldots+w_nr_n)|r_m>\theta)E(r_m|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &=\frac{\sum_i w_iE(r_ir_m|r_m>\theta)-\sum_i w_iE(r_i|r_m>\theta)E(r_m|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &=\sum w_i\frac{E(r_ir_m|r_m>\theta)-E(r_i|r_m>\theta)E(r_m|r_m>\theta)}{Var(r_m|r_m>\theta)}\\ &=\sum_i w_i \beta_i^+(\theta) \end{align} $$ .. como has supuesto. Lo mismo ocurre con el beta a la baja. Intuitivamente, simplemente "divides" tu conjunto de datos en dos secciones: una donde el mercado está por debajo de su retorno promedio en la serie temporal, y otra donde está por encima. A partir de ahí, las cosas son aditivas de nuevo.
Para $\beta_p^+(\theta)$, los betas unilaterales de un solo activo no pueden usarse (no puedes agregar $\beta^+_i(\theta)$, pero aún puedes condicionar en tu cartera estando por encima o por debajo de cierto umbral,
$$ \beta_p^+(\theta)=\sum_i w_i Cov(r_ir_m|r_p>\theta)/Var(r_m|r_p>\theta) $$
Centrándome en el beta hacia arriba, ¿puedo seguir considerando al beta hacia arriba como la suma de los betas ponderados si utilizo theta igual al rendimiento del mercado en exceso medio, como se hace en la definición anterior? Para ser más claro, tengo una cartera de tres acciones con 1/3 en cada una. Quiero saber si el beta hacia arriba se puede calcular simplemente como la suma ponderada de cada beta hacia arriba para cada acción, y luego puedo ver cómo cambia el beta hacia arriba dado diferentes pesos.
Entonces, efectivamente estoy preguntando si tu respuesta es válida para theta igual no solo a cero, como es tu respuesta, sino también para theta igual a otras constantes como el exceso medio de mercado (como se menciona en la definición anterior).
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Realiza dos regresiones lineales, una en los días en que el mercado sube y otra en los días en que baja. ("Sube" y "Baja" pueden definirse en relación con algún $\theta$ que no necesariamente es cero).
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Tal vez escribí mi pregunta de manera confusa, pero sé cómo calcular el beta al alza. He revisado mi pregunta anteriormente.
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Ah, entiendo. Sí, cuando hay un único mercado utilizado para determinar los betas, simplemente debes tomar el promedio ponderado de los betas alcistas y bajistas para obtener tu beta alcista y bajista de la cartera.