Producto de Kronecker en Econometría

Question

Me preguntaba si alguien podría explicar la motivación para usar un producto de Kronecker en econometría.

Entiendo que si tuviéramos dos matrices, A + B, entonces el producto de Kronecker tomaría cada elemento de A y lo multiplicaría por la matriz B (incluyendo todos sus elementos).

Sin embargo, agradecería si alguien podría ayudarme a identificar casos en los que sea significativo hacerlo. Y la motivación para hacerlo.

Se agradecería.

Answer 1

El uso del producto de Kronecker es significativo siempre que su aplicación simplifique la notación y aclare lo que está sucediendo. (Lo siento por esa tautología, pero tu pregunta también lo implicaba.)

Es especialmente útil cuando se necesita replicar una estructura de matriz como subestructura de una matriz más grande, como en particiones (como se menciona en el comentario de Br.M).

Uno de los ejemplos más simples podría ser $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ y $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Un ejemplo de aplicación proviene de apilar un VAR

$$ y_t = A_1 y_{t-1} + \cdots + A_p y_{t-p} + u_t $$

como $$ Y = AZ + U $$ donde $Y=[y_1, \cdots, y_T]$, $U=[u_1, \cdots, u_T]$, $Z = [Z_0, \cdots, Z_{T-1}]$, con $$Z_{t-1} = \begin{bmatrix} y_{t-1} \\ \vdots \\ y_{t-p}\end{bmatrix}$$

La matriz de coeficientes A se apila horizontalmente: $A = [A_1:\cdots :A_p]$.

El estimador OLS es $$ \hat{A} = YZ'(ZZ')^{-1} $$ y se distribuye como $$ \textrm{vec}(\hat{A}) \approx N(\textrm{vec}(A), (ZZ')^{-1}\otimes \Sigma_u) $$ donde $\Sigma_u$ es la matriz de varianza-covarianza de $u$. Observa cómo el uso del producto de Kronecker tanto simplifica la notación como aclara cómo exactamente la matriz de covarianza $\Sigma_u$ entra en juego.

Answer 2

Por lo general, se utiliza el producto de Kronecker en modelos multivariados para escribir el sistema de ecuaciones de forma más compacta y explotar la simetría (si la hay) entre las ecuaciones para simplificar la obtención de estimadores de los parámetros de interés.

Por ejemplo, en el modelo VAR tienes:

$ y_t = \Pi_0 + \Pi_1y_{t-1} + \ldots + \Pi_py_{t-p} + u_t $

donde $y_t$ y $\epsilon_t$ son vectores de $ n \times 1$ y $u_t \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$. Puedes escribir el sistema de forma compacta como:

$Y = X\Pi + U $

donde $Y$ y $U$ son matrices de $T \times n$, $\Pi$ es de $(np+1) \times n$ y $X$ es de $T \times (np+1)$.

Si vectorizas el sistema obtienes:

$vec(Y) = (I_n \otimes X) vec(\Pi) + vec(U)$

Básicamente, este es un modelo de regresión lineal univariado donde $ vec(U) \sim \mathcal{N}(0,\Sigma \otimes I_T) $.

Puedes aprovechar esta expresión para escribir la verosimilitud del sistema, derivar el estimador OLS (GLS) para $vec(\Pi)$, combinar la verosimilitud con una priori para $vec(\Pi)$ que tenga una varianza con una estructura de Kronecker para obtener una distribución posterior que preserve una estructura de Kronecker para la varianza, etc...