¿Requiere el modelo de probabilidad lineal que el regresor sea cero/un valor?

Question

Normalmente, la variable dependiente en un modelo de probabilidad lineal (MPL) es una variable binaria de valor 0/1. ¿Y si la variable dependiente $y_i$ sigue siendo binario, pero toma valores generales $a$ y $b$ en lugar de 0 y 1? Técnicamente, el predictor resultante sigue conservando sus buenas propiedades, por ejemplo, es el predictor lineal de mínimo error cuadrático medio (MMSE). De nuevo, también podemos transformar $y_i$ en una variable 0/1; pero a veces queremos mantener los valores originales, por ejemplo, para la interpretación.

Mi pregunta es: ¿Podemos seguir llamando al estimador LPM? Si no, ¿cómo deberíamos llamarlo?

Answer 1

La etiqueta "LPM" se refiere a la estructura de la ecuación, no al estimador. Los modelos LPM pueden estimarse no sólo por métodos de mínimos cuadrados, sino también por máxima verosimilitud, por ejemplo.

En cuanto a la naturaleza de la variable dependiente, estamos hablando de una transformación afín. Dejemos un modelo con una variable dependiente binaria y un único regresor para simplificar,

$$y_i = \beta_0 +\beta_1x_i +e_i$$

con $y_i \in \{0,1\}$ . Se nos dice entonces que la variable original era

$$z_i = a+(b-a)y_i$$

así que $y_i=0\implies z_i =a$ y $y_i=1 \implies z_i =b$ .

Entonces el modelo de $z_i$ es

$$z_i = a+(b-a)[\beta_0 +\beta_1x_i +e_i]$$

o

$$z_i = \gamma_0 +\gamma_1x_i + u_i$$

$$\gamma_0 = a+(b-a)\beta_0,\;\;\; \gamma_1 = (b-a)\beta_1,\;\;\; u_i = (b-a)e_i$$

La estructura del modelo sigue siendo la misma, una ecuación lineal en parámetros, por lo que sigue siendo un modelo LPM.

Desde $(a,b)$ son valores presumiblemente conocidos, después de estimar el $z$ -y obteniendo estimaciones para los gammas, podemos recuperar también las estimaciones para los betas, si son de interés.

Answer 2

Un LPM es un modelo en el que la probabilidad de que la variable dependiente binaria tenga un valor determinado es lineal en los parámetros. Por ejemplo, si $y$ es una variable de valor 0/1 y $P(y=1)=x\beta$ La ecuación de la probabilidad se denomina modelo de probabilidad lineal. Asimismo, si $y \in \{ -1, 1 \}$ y $P(y=-1) = x\beta$ Es un modelo de probabilidad lineal. O si $y$ es una variable con valor de manzana/naranja y usted cree que la probabilidad de $y$ ser una manzana es $x\beta$ se dice que su creencia es un modelo de probabilidad lineal. Cero/uno no significan nada real aquí; son sólo etiquetas. Puedes etiquetarlos como hombre/mujer en su lugar si quieres. No pierdes información por este reetiquetado mientras recuerdes las nuevas etiquetas. Además, como dijo Papadopoulus, se trata de un modelo, no de un estimador, aunque entendemos casualmente un "estimador de LPM" como un estimador de parámetros en un LPM.