¿Por qué deberíamos esperar que el movimiento browniano geométrico modele los precios de los activos?

Question

Descargo de responsabilidad: Soy un completo ignorante en finanzas, por lo que este puede ser un foro inapropiado para que yo haga una pregunta.

Soy un matemático que no sabe nada sobre finanzas. Escuché de una fuente popular que algo llamado la ecuación de Black-Scholes se utiliza para modelar los precios de las opciones. Por curiosidad, acudí a Wikipedia para aprender sobre el modelo. Me sorprendí al descubrir que asume que el logaritmo del precio de un activo sigue un movimiento browniano con deriva (y luego se dice que el precio del activo en sí sigue un movimiento browniano "geométrico"). ¿Por qué, me pregunté, debería ser ese un buen modelo? Puedo entender que los precios de los activos deben ser impredecibles o de lo contrario los operadores inteligentes podrían vencer al mercado al predecirlos, pero parecería haber muchas alternativas impredecibles al movimiento browniano geométrico.

He encontrado una fuente que aborda mi pregunta, el siguiente capítulo de un libro: http://www.probabilityandfinance.com/chapters/chap9.pdf y un argumento al que hace referencia en el capítulo 11 del mismo libro. El análisis aquí parece muy interesante, y tengo curiosidad por saber si es generalmente aceptado en la comunidad financiera. Sin embargo, no lo he estudiado lo suficiente como para comprender qué tan realistas son sus suposiciones. Aparentemente, depende de una suposición de "tiempo continuo" que parece que no es muy realista dado que los mercados reales se mueven en respuesta a eventos de noticias discretos como anuncios de ganancias.

Answer 1

• Para dar una respuesta directa: No es un buen modelo. Nunca lo fue, nunca lo será. Hasta que no lleguemos todos a un mejor modelo que proporcione una mayor precisión en la modelización mientras sea igualmente intuitivo y haga suposiciones de simplificación similares, el modelo BS con su componente de movimiento browniano geométrico está aquí para quedarse.

• En realidad no importa qué modelo acuerde el mercado usar con el fin de traducir entre un precio de opción y su volatilidad implícita. BS es simplemente una herramienta de traducción, nada más, nada menos. Lo que realmente fija el mercado es la volatilidad implícita. Sin embargo, lo que se negocia es el precio de la opción. Por lo tanto, mientras el mercado esté de acuerdo en un modelo estandarizado, no importa de qué modelo exacto estemos hablando. Ejemplo: Cuando un corredor y un trader de compra acuerdan los detalles de una opción Europea o Americana estándar, obviamente tienen que estar de acuerdo en el precio, sin embargo, si el precio varía significativamente entre ambos escritorios entonces ambos traders interactúan sobre qué vols implícitas están tomando en cuenta. Por lo tanto, el modelo y el movimiento browniano subyacente juegan un papel muy insignificante en este contexto particular.

• Los modelos y sus suposiciones subyacentes se vuelven mucho más importantes al prever precios de activos, así como al fijar precios de productos derivados no estándar (también conocidos como no vanilla) donde el modelo es lo suficientemente complejo y hay una serie de variables de entrada que la elección de modelos marca una diferencia significativa. Ejemplo: Una nota estructurada de tasa de interés más compleja, como un PRDC. Es muy fácil llegar a una diferencia de precios de 50bps-1% al hacer ajustes leves a las suposiciones de modelado, cómo se calculan las correlaciones, o lo que sea.

• Los modelos no se crean o eligen en base a si los "traders inteligentes" son capaces de "vencer" al mercado. El mercado en mi humilde opinión es tal vez la segunda construcción más compleja después del cerebro humano, más complejo que cualquier concepto en Física, Matemáticas u otras ciencias. Nada en el mercado es estable, estamos expuestos a complejidades en constante cambio, correlaciones y dinámicas micro de mercado. Los modelos se eligen para aproximar de alguna manera las propiedades estadísticas del comportamiento del mercado pero mucho más por su simplicidad e intuición. Puede ser una noticia impactante para algunos académicos que la mayoría de los practicantes de trading experimentados le den mucha más importancia, tiempo y esfuerzos a mejorar los modelos de gestión de riesgos y limitación de riesgos, así como a los enfoques que a los modelos de precios con pleno conocimiento de que los modelos de precios siempre serán imperfectos y nunca captarán todas las dinámicas del mercado. También puede estar en completo desacuerdo con muchos puros quants cuando digo que es completamente irrelevante si precio una opción usando un movimiento browniano geométrico o uno aritmético. Claro, terminaremos con un precio de opción diferente, pero ¿y qué? ¿Cuál es más exacto? No importa. ¿Por qué? Ejemplo: Si mi modelo constantemente sobrevalora los precios de las opciones entonces pago cada vez por encima del mercado justo cuando compro y no puedo vender a otros practicantes de mercado a los precios que creo son justos. ¿Qué haré? Ajustaré mi modelo hasta llegar a donde la mayoría de los otros practicantes fijan precios. ¿El resultado? La mayoría de los traders alinean sus modelos como patos en fila. Más o menos todos los modelos en la calle son idénticos. Y si un nuevo modelo aparece o alguien hace mejoras leves que valen la pena estudiar entonces puedes confiar en mí que dicho modelo llega (legal o ilegalmente) a través de los escritorios de la mayoría de las firmas en poco tiempo. El resultado es el mismo en que la mayoría de los practicantes fijan precios con modelos muy similares, puedes llamarlo Black Scholes o como quieras.

• Mi evaluación sobria de cómo "ingeniarse" beneficios estadísticamente significativos en el mercado es que hay muy pocos que realmente entienden las relaciones entre la economía real y las dinámicas del mercado. Muy pocos superan consistentemente al mercado en general. ¿Adivina qué mayoría de ellos tienen en común? Una increíble disposición y capacidad para asumir el riesgo de aquellos cuyos límites de riesgo se ven incumplidos (emocionalmente o a través de límites codificados) y una atención increíble al detalle cuando se trata de gestionar la exposición al riesgo. Un pequeño grupo de esa minoría está aplicando conceptos cuantitativos o matemáticos a cómo invierten y operan.

Answer 2

Si al principio no tienes un modelo en absoluto, entonces el movimiento Browniano geométrico no es malo. Como otros antes que yo dijeron: los log-retornos están normalmente distribuidos en este modelo. Esto es discutible y hay momentos y mercados donde esto no es cierto. Hay más que suficiente investigación al respecto.

Pero ¿por qué un modelo basado en el movimiento Browniano no es tan malo? La razón es que si tienes un proceso continuo con incrementos independientes, entonces simplemente es movimiento Browniano (es algún tipo de aplicación del teorema del límite central). Este es el único proceso posible.

Si asumes incrementos independientes y otras distribuciones, entonces los procesos son llamados procesos de Levy que tienen saltos. Por ejemplo, si asumes que los retornos están distribuidos en t entonces estás en el mundo de los procesos de Levy y las trayectorias ya no son continuas.

Entonces la respuesta corta es: modelar saltos es difícil. Si modelas sin saltos (y con incrementos independientes) entonces basas tu modelo en el movimiento Browniano.

adicional: El movimiento Browniano geométrico puede ser enriquecido: aplicar parámetros dependientes del tiempo o estocásticos (especialmente volatilidad) o aplicar un movimiento Browniano con cambio de tiempo (lo que llevará a un proceso de Levy) y así sucesivamente.

Answer 3

Movimiento browniano - porque es simple, y da lugar a soluciones intuitivas en forma cerrada, y no es una terrible descripción de los precios de los activos, especialmente cuando se emplea en el tiempo de eventos de alta frecuencia.

Geométrico - porque los rendimientos se componen, y las acciones no pueden caer por debajo de cero debido al hecho de que son corporaciones de responsabilidad limitada

Hay muchos, muchos otros modelos, pero a veces lo que se gana en poder se pierde en estabilidad de calibración de los parámetros, lo cual es importante para coberturas rentables.

Answer 4

Básicamente, Black-Scholes es una fórmula "estándar de la industria". Es ampliamente utilizada por los practicantes y generalmente se complementa con especificaciones adicionales o intuición.

Tiene una solución de forma cerrada, lo cual es raro en modelos de fijación de precios de opciones. También es relativamente simple de entender. De lo contrario, usualmente necesitas depender de simulación de Monte Carlo u otra forma. Y honestamente el nivel adicional de sofisticación no es tan deseable.

Las partes de la fórmula se utilizan para cobertura. Ver Griegos. Muchos operadores utilizan este tipo de información.

¿Está errado BS? Claro. Muchas de sus suposiciones pueden ser condenadas por ser irrealistas (por ejemplo, la suposición de volatilidad constante). Pero estas suposiciones son necesarias para obtener esa fórmula simple con cierta aproximación a la realidad.

¿Está errado GBM? Claro. Muchos estudios muestran que el comportamiento de los log retornos es leptocúrtico (colas altas, cabeza alta), asimétrico y propenso a saltos. Ver sonrisa de volatilidad. Pero es adecuado la mayor parte del tiempo. Pero la diferencia se hace en momentos extraordinarios (crisis del 2008, caída de 1987, etc.)

En la academia, BS es una referencia para nuevos métodos y estudios de referencia. Como en cualquier pionero en cualquier campo, los nuevos métodos siempre están ansiosos por demostrar que son "mejores que la referencia". De lo contrario, significa que tu método es tan malo que no puede superar a uno de hace casi 40 años.

No hay una bala mágica en el mundo financiero y BS es algo aceptado con lo que puedes justificar tus movimientos en el mercado.

Answer 5

La distribución normal es una distribución muy poderosa:

• Según el teorema del límite central, la media de cualquier muestra grande siempre converge a la distribución normal
• Considerando el modelo más simplista del Árbol Binomial, donde el precio solo sube o baja en cada período, se puede demostrar que la distribución de rendimientos de este árbol converge a una distribución normal para pasos de tiempo infinitesimales

Por lo tanto, es una buena opción para modelar los precios de los activos.