¿Juego con un equilibrio en estrategias puras, pero ninguno en estrategias mixtas?

Question

Me encontré con el siguiente juego:

La cuestión es encontrar equilibrios potenciales en estrategias mixtas y puras. La solución dice que hay un equilibrio en estrategias puras (B,N), pero ninguno en estrategias mixtas. Matemáticamente esto tiene sentido para mí, ya que si se resuelve el equilibrio en estrategias mixtas, se obtiene la solución de que el jugador 2 tendría que jugar la estrategia L "-100%" del tiempo, para que el jugador 1 sea indiferente entre la estrategia A y la estrategia B. Lo que no entiendo, sin embargo, es cómo se concilia este resultado con el teorema de Nash, que afirma que todo juego con un número finito de jugadores y un número finito de estrategias puras tiene al menos un equilibrio en estrategias mixtas. En el caso que nos ocupa, tenemos un número finito de jugadores y de estrategias puras. Entonces, ¿cómo es posible que no haya un equilibrio en estrategias mixtas?

Answer 1

Como dije en el comentario, el teorema de Nash demuestra la existencia de un equilibrio de Nash (posiblemente pero no necesariamente en estrategias mixtas). Si estás interesado en los equilibrios de Nash es estrategias mixtas propiamente dichas, es decir, NE en las que todos los jugadores juegan al menos dos acciones con probabilidad positiva, puedes demostrar fácilmente el siguiente resultado de imposibilidad: No puede existir tal NE si un jugador $i$ tiene una estrategia estrictamente dominante, es decir, una estrategia que da una mayor recompensa independientemente de la estrategia de los otros jugadores. Dado que la estrategia estrictamente dominante es $i$ La mejor respuesta de la empresa contra todas las estrategias de los demás, esta estrategia pura debe formar parte de cada equilibrio. Cada una de las otras estrategias por $i$ puede mejorarse desviándose a la estrategia dominante. En su caso 1 tiene una estrategia estrictamente dominante, $B$ - así que aunque el 2 siempre juegue $L$ 1 no sería indiferente entre $A$ y $B$ pero siempre elige $B, 9>8$ . Sin indiferencia, la mezcla nunca es óptima y, por tanto, nunca forma parte de una EN.

Incluso si $B$ fuera sólo débilmente dominante, sería siempre la única mejor respuesta a cada estrategia en la que el jugador 2 juega $L$ y $N$ con una probabilidad positiva.