Las carteras de factores son subproductos de las técnicas de regresión transversal utilizadas para estimar las rentabilidades de los factores de estilo, es decir, las estimaciones de la rentabilidad de un conjunto de estilos para un periodo concreto. Los rendimientos de los factores de estilo se estiman mediante la regresión de los rendimientos de todos los activos en un único periodo sobre una matriz que contiene los estilos de cada activo en ese periodo.
Así, por ejemplo, si estamos interesados en la rentabilidad de un factor P/E y un factor P/B, reuniríamos el P/E y el P/B de todos nuestros valores en una matriz de cargas $B$ . $B$ tendría dos columnas: una con el PER y otra con el P/B para todos los activos. A continuación, realizamos la regresión $R$ (un vector que contiene los rendimientos de todos los activos) en $B$ . Regresión OLS nos da $f= (B’B)^{-1} B’R$ = los rendimientos de los factores de estilo para este periodo concreto. Las filas de $(B’B)^{-1} B’$ se consideran las carteras de factores.
Así que vayamos un paso más allá y veamos las cargas de la cartera en los estilos individuales multiplicando las carteras de factores con la matriz de cargas. Esto da como resultado $(B’B)^{-1} B’B = I$ - una matriz de identidad. Por lo tanto, las cargas de cada cartera de factores son 1 contra el estilo particular y 0 contra cualquier otro estilo.
Intuitivamente, este resultado tiene sentido. OLS trata de encontrar la mejor estimación de los rendimientos de un estilo concreto. Por lo tanto, OLS trata de encontrar un conjunto de carteras que tengan las siguientes características: (1) una exposición unitaria al estilo de interés, (2) cero exposición a cualquier otro estilo, y (3) un error mínimo mediante la máxima diversificación de la cartera. A continuación, observamos los rendimientos de esa cartera y decimos que esa es la estimación del rendimiento del factor. La característica (1) garantiza que los rendimientos de la cartera son aproximadamente los rendimientos del factor de estilo. La característica (2) garantiza que la rentabilidad de la cartera de factores no está contaminada por otros factores. La característica (3) garantiza que el error en la estimación del rendimiento del factor de estilo es mínimo.
