Pregunta sobre los dados - ganancias esperadas al tirar los dados $2$ veces

Question

En las típicas entrevistas de negociación se consideran problemas de juego, como tirar un dado y ganar su valor nominal. Las ganancias esperadas son $\\\$ 3.5$ , $\\\$ 4.25$ , $\\\$ \frac{14}{3}$ para un lanzamiento, dos lanzamientos y tres lanzamientos respectivamente. Las ganancias esperadas de $n$ Los lanzamientos pueden ser calculados recusivamente conociendo el valor de $n-1$ .

Sin embargo, consideremos ahora un juego diferente, en el que se obtiene $\\\$ 10,000,000$ por cada valor facial de los dados. ¿Cuánto pagarías por entrar en este juego?

Los valores de este tamaño necesitan que seamos aversos al riesgo, en el que la función de utilidad no es lineal sino cóncava. Una opción canónica es el logaritmo, con lo que el equivalente monetario del juego es la media geométrica, $(\prod_{i=1}^6 i*10^8)^{1/6} \approx 2.9938* 10^8$ . Así que un inversor de riesgo pagará $30M$ para entrar en el juego. Sin embargo, ¿qué pasa si ahora puedo lanzar los dados dos veces? Obviamente, aquí no se puede aplicar la misma estrategia de antes. ¿Cómo debemos entonces fijar el precio de este juego? ¿Utilizando el árbol binomial?

Answer 1

Apliquemos la teoría básica de la utilidad. Obsérvese que la utilidad esperada viene dada por los resultados, sus probabilidades y la riqueza inicial $W_0$ del jugador (ver el comentario de @Dimitri a tu pregunta). Deja que $\mathrm{EU}$ denotan la utilidad esperada

$$ \mathrm{EU}\equiv\sum\limits_{i=1}^np_iu(x_i+W_0) $$

y $\mathrm{CE}$ sea el equivalente en certeza (o en dinero en su pregunta) $$ \mathrm{CE}\equiv u^{-1}(\mathrm{EU})-W_0, $$ es decir $u(\mathrm{CE+W_0})=\mathrm{EU}$ . Si la riqueza inicial es órdenes de magnitud por encima de los resultados de la apuesta, $W_0>>x$ entonces la utilidad puede ser bien aproximada por una función lineal, $u(W_0+x_i)\approx u(W_0)+cx_i$ con $c$ una constante que depende de $W_0$ y $u$ . Esto se refleja en la primera parte de su pregunta.

Introduzcamos además toma de decisiones óptima . Con $n$ más rondas en el juego, su jugador siempre detendrá el juego en algún resultado $x_i+W_0$ siempre que la utilidad de ese resultado supere la valor de continuación ,

$$ u(x_i+W_0)>\max{F_n} $$

donde, de forma algo descuidada, $\max F_n$ denota la utilidad esperada de detener el juego de forma óptima en algún momento futuro. En su ejemplo, este problema puede resolverse recursivamente: Con una ronda más, el jugador se detendrá en algún resultado $x_j$ si $$u(W_0+x_j)>\sum\limits_{i=1}^np_iu(x_i+W_0)\Leftrightarrow x_j>u^{-1}(EU)-W_0\equiv \mathrm{CE}_1$$

El jugador seguirá jugando a cualquier $x_j<\mathrm{CE}_1$ . Con dos rondas más, conocen su decisión óptima en la siguiente ronda y pueden ajustar el valor esperado de continuación del juego en consecuencia, es decir, ahora paran si

$$ u(x_j+W_0)>\sum_{i:x_i < \mathrm{CE}_1}p_iu(W_0+\mathrm{CE}_1)+\sum_{i:x_i > \mathrm{CE}_1}p_iu(W_0+x_i) $$ Y volverán a encontrar alguna certeza equivalente $\mathrm{CE}_2$ para este juego, y así sucesivamente.

En cualquier paso, el equivalente de certeza (valor monetario) de jugar $n$ los juegos se pueden calcular calculando

$$ \begin{align} \mathrm{CE_n}&=u^{-1}(\mathrm{EU_n})-W_0\\ &=u^{-1}\left(\sum_{i:x_i < \mathrm{CE}_{n-1}}p_iu(W_0+\mathrm{CE}_{n-1})+\sum_{i:x_i > \mathrm{CE}_{n-1}}p_iu(W_0+x_i)\right)-W_0 \end{align} $$

N.B: Para completar la información, el precio de la apuesta debería, por supuesto, reflejarse también en la utilidad y el resultado... Además: El comentario de @Dimitri es muy perspicaz: Tú sólo estás dispuesto a pagar un precio de reserva basado en la utilidad por esa apuesta, pero la casa de apuestas, en promedio, perdería dinero con ese precio de entrada.