Juego de Bertrand con riesgo de entrega y pagos secundarios

Question

Considere tres agentes $A_i$ que participan en un juego de Bertrand. Todos los agentes tienen un conocimiento perfecto de todos los parámetros y de la distribución $F()$ .

• $A_1$ se mueve primero y selecciona el precio $0\leq p_1\in \mathbb{R}$ . $A_2$ se desplaza en segundo lugar y selecciona el precio $0\leq p_2\in \mathbb{R}$ . $A_3$ se desplaza en tercer lugar y selecciona $0\leq q_1\in \mathbb{R}$ y $0\leq q_2\in \mathbb{R}$ es decir, las cantidades que compra a $A_1$ y $A_2$ que vende a precio de mercado.
• $A_1$ trata de maximizar $ q_1 p_1$ .
• $A_2$ trata de maximizar $ q_2 p_2$ .
• $A_3$ trata de maximizar $$((A - q_1 - q_2) (q_1+q_2) - q_1 p_1 - q_2 p_2) (1-F(-q_1 p_1))+ ( (A - q_2) q_2- q_2 p_2+B) F(- q_1 p_1) $$ con $F$ siendo una función de distribución acumulativa continua. $A_3$ La función de beneficio de la empresa capta que la compra de $A_2$ no corre ningún riesgo, mientras que $A_1$ puede ser incapaz de cumplir. Sin embargo, cuanto más alto $A_1$ cuanto menor sea el riesgo y mayor sea la posibilidad de captar los beneficios/pérdidas $B$ .

Obsérvese que todos los agentes tienen un conocimiento perfecto de todos los parámetros y la distribución $F()$ .

En $A_3$ El aumento de los beneficios de $B$ ? ¿Cómo demostrarlo?

(Si $F$ es uniforme, $A_3$ sólo comprará a uno de los agentes y es fácil demostrar que la respuesta es afirmativa. Si $p_1$ y $p_2$ entonces es fácil demostrar que la respuesta es afirmativa).
En el caso general, que se describe más arriba, mis estudios numéricos sugieren que la respuesta es afirmativa, pero me cuesta escribir la prueba analítica.

Answer 1

No voy a dar una solución a tu pregunta (ya que no soy capaz). Sin embargo, voy a intentar indicar la dificultad de obtener una si no se puede encontrar una solución de forma cerrada para $q_1$ y $q_2$ en la última etapa del juego.

Dejemos que $\Pi(q_1, q_2, p_1, p_2, B)$ sea la función objetivo que queremos maximizar. Asumiendo que podemos diferenciar totalmente esto, obtenemos: $$ d\Pi = \Pi_{q_1} dq_1 + \Pi_{q_2} dq_2 + \Pi_{p_1} dp_1 + \Pi_{p_2} dp_2 + \Pi_B dB. \tag{1} $$ Supongamos que se cumplen las condiciones de primer orden: $$ \Pi_{q_1} = 0\\ \Pi_{q_2} = 0 \tag{foc-stage3} $$ Esto simplifica entonces $(1)$ a: $$ d\Pi = \Pi_{p_1} dp_1 + \Pi_{p_2} dp_2 + \Pi_B dB \tag{1.a} $$ El problema aquí es que no podemos dejar caer el $dp_1$ y $dp_2$ términos ya que (en general) ambos van a estar en función de $B$ .

Supongamos que las condiciones de primer orden $\rm{(foc-stage3)}$ se puede resolver para dar una solución $q_2(p_1, p_2, B)$ y $q_1(p_1, p_2, B)$ . Entonces, en la fase 2 del juego, la empresa 2 maximiza: $$ p_2 q_2(p_1, p_2, B) $$ De nuevo, supongamos que se cumplen las condiciones de primer orden: $$ q_2 + p_2 \frac{\partial q_2}{\partial p_2} = 0 \tag{foc-stage2} $$ Podemos diferenciar totalmente esto con respecto a $p_1$ y $p_2$ y $B$ (Obsérvese que $q_2$ es una función de estas tres variables). Esto da: $$ \left(2\frac{\partial q_2}{\partial p_2} + p_2 \frac{\partial^2 q_2}{\partial p_2\partial p_2}\right) dp_2 = -\left(\frac{\partial q_2}{\partial p_1} + p_2 \frac{\partial^2 q_2}{\partial p_2 \partial p_1}\right) dp_1 - \left(\frac{\partial q_2}{\partial B} + p_2 \frac{\partial^2 q_2}{\partial p_2 \partial B}\right) dB \tag{2} $$

Dejemos que $p_2(p_1, B)$ sea la solución óptima de la empresa 2 (resolviendo $({\rm foc-stage2})$ . Entonces, en la etapa 1, la empresa 1 maximiza $$ p_1 q_1(p_1, p_2(p_1, B), B) $$ Así que: $$ q_1 + p_1 \frac{\partial q_1}{\partial p_1} + p_1 \frac{\partial q_1}{\partial p_2} \frac{\partial p_2}{\partial p_1}= 0 \tag{foc-stage1} $$

Asumiendo de nuevo que esto puede ser totalmente diferenciado con respecto a $p_1$ y $B$ obtenemos: $$ \begin{align*} \left(\frac{\partial q_1}{\partial p_1} + \frac{\partial q_1}{\partial p_1} + p_1 \frac{\partial^2 q_1}{\partial p_1 \partial p_1} + \frac{\partial^2 q_1}{\partial p_2\partial p_1}\frac{\partial p_2}{\partial p_1} + \frac{\partial q_1}{\partial p_2}\frac{\partial^2 p_2}{\partial p_1\partial p_1}\right) dp_1\\ =- \left(\frac{\partial q_1}{\partial B} + p_1 \frac{\partial^2 q}{\partial p_1 \partial B} + \frac{\partial^2 q_1}{\partial p_2 \partial B} \frac{\partial p_2}{\partial p_1} + \frac{\partial q_1}{\partial p_2} \frac{\partial^2 p_2}{\partial p_1 \partial B}\right) dB \tag{3} \end{align*} $$

Entonces podemos utilizar $(3)$ para sustituir a $d p_1$ en $(2)$ . Entonces $(2)$ y $(3)$ dar $dp_1$ y $dp_2$ en términos de sólo $dB$ . Esto se puede sustituir por $(1.a)$ para dar el efecto total de $B$ en $\Pi$ .