Restricción cuantitativa en el modelo con factor de producción fijo

Question

Estoy tratando de ver el efecto de una restricción en la producción en un modelo en el que un factor de producción es perfectamente elástico y el otro es fijo.

En concreto, supongamos que la función de producción es Cobb-Douglas: $y = k^\alpha l^{1-\alpha}$ . Entonces la minimización de costes da \begin{align} k &= \left(\frac{\alpha}{R} \frac{W}{1-\alpha} \right)^{1-\alpha} y \quad \quad \quad (1) \\ l &= \left(\frac{1-\alpha}{W} \frac{R}{\alpha} \right)^\alpha y \quad \quad \quad (2) \end{align} donde $R$ es el precio de $k$ y $W$ es el precio de $l$ . El mercado de bienes es perfectamente competitivo, por lo que el precio es igual al coste marginal: $$ p = \left(\frac{R}{\alpha}\right)^\alpha \left(\frac{W}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}. \quad \quad \quad (3) $$ La demanda del bien viene dada por $$ y = \frac{\phi}{p} \quad \quad \quad (4) $$ donde $\phi$ es un parámetro. Las ecuaciones (1) - (4) dan cuatro ecuaciones en las seis variables $y, k, l, p, R, W$ . Supongamos ahora que $k$ es perfectamente elástico y $l$ es perfectamente inelástica, es decir $$ R = \bar{R} \quad \quad \quad (5) \\ l = 1 \quad \quad \quad (6). $$ Puedo resolver estas seis ecuaciones en seis variables. Pero ahora supongamos que quiero introducir una restricción de cantidad, $y \leq \bar{y}$ (donde $\bar{y}$ es lo suficientemente bajo como para ser vinculante). Para evitar un sistema sobredeterminado, ¿cuál de las seis ecuaciones originales elimino? O bien, ¿vuelvo a hacer una ecuación de optimización, incluyendo esta restricción adicional, de modo que haya una variable adicional de multiplicidad de Lagrange?

Intuitivamente, creo que el precio $W$ del factor de producción inelástico $l$ se ofertará al alza, pero no estoy seguro de cómo surge esto matemáticamente.

Gracias.

Answer 1

Resumen El salario de equilibrio disminuirá. El razonamiento es que, debido a la restricción de producción, la demanda total de trabajo disminuirá. Entonces, debido a la oferta fija de trabajo (y al precio fijo del capital), esto hace que el salario de equilibrio disminuya.

Derivación

Tenemos la condición de primer orden para la demanda laboral (agregada).

$$ l = (1-\alpha)^\alpha W^{-\alpha} R^\alpha \alpha^{-\alpha} y \tag{1} $$ Tomemos primero el caso en el que existe una competencia perfecta y no hay restricciones de producción. Entonces, al igualar la demanda (inversa) y la oferta (inversa) para el mercado de producción se obtiene: $$ \begin{align*} &\frac{\phi}{y} = p = R^\alpha \alpha^{-\alpha} W^{1- \alpha} (1-\alpha)^{1- \alpha}. \\ \to &y = \phi R^{-\alpha} \alpha^\alpha W^{\alpha-1} (1-\alpha)^{\alpha-1} \tag{2} \end{align*} $$ Sustituyendo a $(2)$ en $(1)$ da: $$ l = (1-\alpha)^{2 \alpha-1} W^{-1} \phi $$ Esta es la demanda (agregada) de $l$ . La oferta de trabajo es igual a $1$ por lo que el equilibrio en el mercado de trabajo requiere que: $$ \begin{align*} &1 = (1-\alpha)^{2 \alpha - 1} W^{-1} \phi,\\ \to &W = (1-\alpha)^{2 \alpha - 1} \phi. \tag{3} \end{align*} $$ Este es el salario de equilibrio.

Enchufando $(3)$ de nuevo en $(2)$ da la producción de equilibrio. $$ \begin{align*} y &= \phi R^{-\alpha} \alpha^\alpha (1-\alpha)^{\alpha-1} (1-\alpha)^{(2 \alpha-1)(\alpha-1)}\phi^{\alpha-1},\\ &= \phi^\alpha R^{-\alpha} \alpha^\alpha (1-\alpha)^{2\alpha(\alpha-1)} \end{align*} $$ Obsérvese que no es necesario que nos consideremos con el equilibrio en el mercado de capitales como $R$ es fijo.

Ahora, la alternativa con una oferta fija (utilice los subíndices $f$ para los precios de equilibrio). Si $\overline{y} < y$ entonces el precio en el mercado de salida vendrá dado por: $$ p_f = \frac{\phi}{\overline{y}}. $$ El precio ya no será igual a los costes marginales, sino que será más alto. Entonces la demanda agregada de trabajo será igual a: $$ l = (1- \alpha)^\alpha W_f^{-\alpha} R^\alpha \alpha^{-\alpha} \overline{y}. $$ Si se iguala a la oferta agregada (que es igual a 1) se obtiene el salario de equilibrio si se restringe la producción: $$ W_f = (1-\alpha) R \alpha^{-1} \overline{y}^{1/\alpha}. $$ Entonces: $$ W_f < W,\\ \iff (1-\alpha) R \alpha^{-1} \overline{y}^{1/\alpha} < (1-\alpha)^{2 \alpha-1} \phi,\\ \iff \overline{y} < \phi^\alpha (1-\alpha)^{2\alpha(\alpha-1)}R^{-\alpha} \alpha^\alpha = y $$ Por lo tanto, el salario en el mercado restringido es menor, ya que asumimos que $\overline{y} < y$ .