Straffin, P. D. (1993): Teoría de los juegos y estrategia. ¿Cómo se calcula el nivel de seguridad de la página 103?

Question

¿Podría alguien explicar cómo Straffin ha calculado los niveles de seguridad de Rose y Colin en la página 103? Por lo que entendí, el nivel de seguridad de Colin es 6 porque es el mínimo de la estrategia Colin A porque Colin A domina a Colin B. Si se consideraran ambos, Colin A y Colin B, Rose debería seguir una estrategia mixta de 8/9 para Rose A y 1/9 para Rose B, lo que lleva a un nivel de seguridad de 20/9, pero sólo si se considerara a Colin A. No entiendo cómo Straffin llegó al nivel de seguridad de 10/3 para Rose y por qué la estrategia BA debería jugarse al menos 1/3 de las veces.

Aquí están las dos páginas que describen el problema (me disculpo por la mala resolución):

Answer 1

Supongamos que Colin juega A con probabilidad c y B con probabilidad 1-c, mientras que Rose juega A con probabilidad r y B con probabilidad 1-r. Entonces el resultado de Rose es

$2rc+4(1-r)c+10r(1-c)+0(1-r)(1-c)$

El nivel de seguridad de Rose se calcula tomando el max-mini payoff: es decir, para cada valor de r, encontrar el mínimo payoff sobre todos los c, y luego encontrar el máximo de dicho valor.

Así que, en primer lugar, podemos simplificar la expresión anterior:

$2rc+4c-4rc+10r-10rc = 4c+10r-12rc$

Como función de c, es una línea con intercepción $10r$ y la pendiente $4-12r$ .

Caso I: $r = \frac13$ Esta línea es una constante $10r$ . Enchufe $r =\frac13$ en y obtienes $\frac{10}3$

Caso II: $r > \frac13$ entonces tiene una pendiente negativa, y el mínimo se produce en $c = 1$ con un pago de $4-2r$ . Desde $r > \frac13$ tenemos que la recompensa es menor que $4-2/3 = \frac{10}3$ .

Caso II: $r < \frac13$ , entonces tiene una pendiente positiva, y el mínimo se produce en $c = 0$ con un pago de $10r$ . Desde $r < \frac13$ la recompensa es menor que $\frac{10}3$ .

En otras palabras, si Rose juega A $\frac13$ del tiempo, entonces obtiene una media de $\frac{10}3$ independientemente de lo que haga Colin. Si juega A menos de $\frac13$ del tiempo, entonces si Colin juega B, entonces ella obtiene 10 menos que $\frac13$ del tiempo y 0 el resto del tiempo, consiguiendo su menos de $\frac{10}3$ . Si juega A más de $\frac13$ del tiempo, entonces si Colin juega A, obtiene 2 más que $\frac13$ del tiempo y 4 el resto del tiempo, consiguiendo su menos $\frac{10}3$ .

Así que Rose puede garantizarse $\frac{10}3$ jugando a A $\frac13$ del tiempo, y cualquier otra estrategia tiene la posibilidad de darle menos que eso. Por lo tanto, $\frac{10}3$ es su nivel de seguridad.

La razón por la que BA debería jugarse al menos $\frac13$ del tiempo es que si BA se juega $\frac13$ del tiempo y AB se juega $\frac23$ del tiempo, entonces la recompensa de Colin es $8*\frac13+ 5*\frac23 = \frac83 + \frac{10}3 = \frac{18}3=6$ que es su nivel de seguridad. Si BA se juega menos de $\frac13$ de las veces, entonces su remuneración es inferior a su nivel de seguridad, por lo que sería mejor que no cooperara.

Answer 2

Basado en la respuesta de @Acccumulation, trato de poner la razón, por la cual BA debe ser jugado al menos $\frac{1}{3}$ del tiempo, en otras palabras. Si Colin no cooperara, siempre podría jugar con Colin A porque Colin A domina a Colin B. Por lo tanto, se le concedió un pago de $6$ con seguridad. Ahora, consideremos los casos de cooperación AB y BA: Para AB, Colin obtendría un pago de $5$ mientras que él obtendría un pago de $8$ para BA.

La pregunta ahora es: ¿Cuán grande debe ser la proporción de jugar BA como mínimo para garantizar que Colin coopere jugando una mezcla de AB y BA y no juegue sólo Colin A?

Para responder a esto, ponlo en una fórmula determinando $x$ como la mínima ocurrencia de BA con pago $8$ para Colin y $1-x$ como la ocurrencia restante de AB con el pago $5$ . Recuerda que $6$ es el pago mínimo que obtendría Colin si jugara sólo la estrategia dominante Colin A: $$x\cdot 8+(1-x)\cdot5 \geq 6$$ $$3\cdot x+5 \geq 6$$ $$x \geq \frac{1}{3}$$ Por lo tanto, BA debería jugarse al menos $\frac{1}{3}$ del tiempo para motivar a Colin a cooperar.