Varianza del paseo aleatorio con deriva

Question

Para las variables aleatorias gaussianas $\xi_t$ con la media $\mu_t$ y la desviación estándar $\sigma$ Consideremos el paseo aleatorio con condición inicial $P_0=100$ , de tal manera que

\begin{equation} P_t=P_{t-1}(1+\xi_t). \end{equation}

Asumo que la varianza de $P_t$ satisface \begin{equation*} \begin{split} \text{Var}P_{t}&=\text{Var}\left(P_{0}\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)\right),\\&=P_{0}^{2}\left(\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)^{2}\right]-\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)\right]^{2}\right),\\&=\mathbb{E}\left[P_{t}\right]^2\left(\left(1+\frac{\sigma^{2}}{\mathbb{E}\left[P_{t}\right]}\right)^{t}-1\right). \end{split} \end{equation*}

Sin embargo, me gustaría saber si esto se puede probar para una media cambiante $u_t$ , de tal manera que $\mathbb{E}[P_t]\neq P_0(1+\mu)^t$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Configurar

Dejemos que

$$Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)$$

donde cada $x_i$ se distribuye normalmente como $x_i\sim \mathrm{N}\left(\tilde{\mu},\sigma\right)$ . Para simplificar, y con cierto abuso de notación, dejemos que $\mu = 1 + \tilde{\mu} $ es decir

$$Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)\sim\prod\limits_{i=1}^n(\mu + \sigma\varepsilon_i)$$

donde cada $\varepsilon_i$ es normal estándar iid, $\varepsilon_i\sim \mathrm{N}\left(0,1\right)$ . Tenga en cuenta que

$$Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)\sim\prod\limits_{i=1}^{n-1}(\mu + \sigma\varepsilon_i)\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)=Z_{n-1}\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)$$ que utilizaremos a continuación.

Primer y segundo momento

$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_1\right)&=\mathrm{E}\left(\mu+\sigma\varepsilon_1\right)\\ &=\mu \end{align} $$ y luego: $$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_n\right)&=\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)\right)\\ &=\mu\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\right) + \sigma\mathrm{E}\left(\varepsilon_{n}Z_{n-1}\right)\\ &=\mu\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\right)\\ &=\mu\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_{n-1}\right)Z_{n-2}\right)\\ &=\ldots\\ &=\mu^{n-1}\mathrm{E}\left(Z_{1}\right)\\ &=\mu^n\\ &=\left(1 + \tilde{\mu}\right)^n \end{align} $$

Si la media $\tilde{\mu_t}$ depende del tiempo, entonces $$ \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)=\prod\limits_{t=1}^n\left(1+\tilde{\mu_t}\right) $$

Igualmente,

$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_1^2\right)&=\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_1\right)^2\right)\\ &=\mathrm{E}\left(\mu^2+2\sigma\mu\varepsilon_1+\sigma^2\varepsilon_1^2\right)\\ &=\mu^2+\sigma^2 \end{align} $$ y luego $$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)&=\mathrm{E}\left(Z_{n-1}^2\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)^2\right)\\ &=\mathrm{E}\left(\mu^2Z_{n-1}^2\right)+2\sigma\mathrm{E}\left(\varepsilon_nZ_{n-1}^2\right)+\sigma^2\mathrm{E}\left(\varepsilon_n^2Z_{n-1}^2\right)\\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)\mathrm{E}\left(Z_{n-1}^2\right)\\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_{n-1}\right)^2Z_{n-2}^2\right)\\ &=\ldots\\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)^{n-1}\mathrm{E}\left(Z_{1}^2\right)\\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)^{n}\\ &=\left(\left(1+\tilde{\mu}\right)^2+\sigma^2\right)^{n} \end{align} $$

Si la media $\tilde{\mu_t}$ depende del tiempo, entonces $$ \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)=\prod\limits_{t=1}^n\left(\left(1+\tilde{\mu_t}\right)^2+\sigma^2\right) $$

Desviación

Finalmente,

$$ \begin{align} \mathrm{Var}\left(Z_n\right)&=\mathrm{E}\left(Z_n^2\right)-\mathrm{E}\left(Z_n\right)^2\\ &=\left(\left(1+\tilde{\mu}\right)^2+\sigma^2\right)^{n}-\left(1 + \tilde{\mu}\right)^{2n} \end{align} $$