Supongamos que un juego simétrico de dos jugadores viene dado por $n\times n$ matriz de pagos $A$ para el jugador de la fila (y $A^t$ para el jugador de la columna).
Dejemos que $B$ sea una matriz tal que $\forall i,j\in [n]:B_{i, j}\geq A_{i,j}$ .
Supongamos que $a$ es un equilibrio simétrico en $A$ , $b$ es un equilibrio simétrico en $B$ y que $a$ y $b$ tiene el mismo soporte.
¿Significa el pago del jugador bajo $a$ (jugando a la matriz $A$ ) no puede ser mayor que la recompensa de jugar $b$ en el juego $B$ ?
Formulación de la demanda en álgebra lineal:
Dejemos que $A,B\in [0,1]^{n\times n}$ tal que $\forall i,j\in [n]:B_{i, j}\geq A_{i,j}$ .
Denota por $\Delta $ el conjunto de distribuciones de probabilidad sobre $[n]$ .
Dejemos que $a,b\in \Delta$ sean dos vectores de distribución.
En
- $\forall x\in \Delta: x^tAa\leq a^tAa \ \ $ (es decir $a$ es un equilibrio para $A$ )
- $\forall x\in \Delta: x^tBb\leq b^tBb \ \ \ $ (es decir $b$ es un equilibrio para $B$ )
- $\forall i\in [n]: a_i>0 \iff b_i>0 \ \ $ ( $a,b$ tienen el mismo soporte)
Implica $$a^tAa\leq b^tBb?$$
En caso negativo, ¿cambia la respuesta si $A,B$ ¿son simétricos?
Observe que sin la condición de apoyo, la afirmación es falsa, por ejemplo-
$A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0.1 \\ \end{array} \right) $ $B= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ \end{array} \right) $
$a= \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) $ $b= \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) $
