$E(X_{t-1}Z_t) = 0$ en el caso causal $|\phi | < 1$ pero no en el caso no causal $|\phi | >1$ .
Caso causal $(|\phi| < 1)$
En este caso, la única solución estacionaria de la ecuación AR(1) viene dada por $$X_t = \sum_{j=1}^\infty \phi^j Z_{t-j}$$ Así, $$E(X_{t-1} Z_t) = E \left( Z_t \sum_{j=1}^\infty \phi^j Z_{t-1-j} \right) = \sum_{j=1}^\infty \phi^j E (Z_t Z_{t-1-j}) = 0$$ donde la última igualdad se deduce de $Z_i$ y $Z_j$ siendo no correlacionados para $i \neq j$ y todos los intercambios de integración están garantizados por el teorema de Fubini.
Caso no causal $(|\phi| > 1)$
La única solución estacionaria de la ecuación AR(1) es $$X_t = - \sum_{j=1}^\infty \phi^{-j} Z_{t+j}$$ Se puede llegar a esta ecuación realizando la recursión hacia delante, en lugar de hacia atrás. Así,
$$E(X_{t-1}Z_t) = -\sum_{j=1}^\infty \phi^{-j} E(Z_{t-1+j} Z_t) = - \frac{\sigma_Z^2}{\phi}$$
Esta conclusión se confirma si se utilizan las ecuaciones AR para obtener $$Var(X_t) = \phi^2 Var(X_{t-1}) + Var(Z_t) + 2 \phi E(X_{t-1} Z_t)$$
Utilizando $Var(X_{t-1}) = \frac{\sigma_Z^2}{\phi^2 - 1}$ se obtiene $E(X_{t-1} Z_t) = - \frac{\sigma_Z^2}{\phi}$ .
Aparte: La mayoría de la gente restringe el estudio de los procesos ARMA al primer caso por dos razones: (i) el caso no causal dependiente del futuro es extraño, y (ii) en el caso estacionario no causal siempre se puede encontrar un proceso de ruido blanco $\tilde{Z}_t$ tal que $X_t$ es la solución causal de $X_t = \phi^{-1} X_{t-1} + \tilde{Z}_t$ . Esto puede explicar por qué su AT simplemente asumió $E(X_{t-1}Z_t) = 0$ siempre.
Editar: Parece que hay cierta confusión en los comentarios sobre lo que el soluciones a una ecuación de series temporales. Creo que la mayoría de los libros de texto pasan por alto estos detalles técnicos.
Una solución a una ecuación estocástica $$g(X_t, Z_t) = 0$$ es un par $(X_t, Z_t)$ tal que $(Z_t)_{t \in \mathbb{Z}}$ es un ruido blanco y para cada $t \in \mathbb{Z}$ , $X_t$ es una función (medible) de toda la secuencia de ruido blanco (es decir $X_t = h((\epsilon_{k})_{k\in\mathbb{Z}})$ ) y $X_t$ satisface la ecuación estocástica en algún sentido (por ejemplo, casi con seguridad). Obsérvese que $X_t$ puede depender del ruido "pasado", del ruido "futuro" o de las restricciones de la secuencia completa. La solución $(X_t, Z_t)$ se dice que es estacionario si $X_t$ es un proceso estacionario.
Obsérvese que para la ecuación AR(1) $X_t = \phi X_{t-1} + Z_t$ podemos encontrar soluciones estacionarias únicas cuando $|\phi| \neq 1$ Puede hacerlo mediante una recursión en el pasado si $|\phi| < 1$ o por recursión en el futuro (inversión del tiempo) si $|\phi| >1$ . Véase el ejemplo 3.1.2 y los teoremas 3.1.1-3.1.3 de Brockwell y Davis para más detalles.
En el caso $|\phi| > 1$ también podemos fijar un proceso estocástico $(X_t)_{t \in \mathbb{N}}$ tal que $X_0 = x$ y para $t \geq 1$ , $X_t = X_0 + \sum_{j=1}^t Z_j$ . Aunque se trata de una solución de la ecuación AR(1), es evidente que no es estacionaria. Por lo tanto, podemos eliminar este caso, ya que la OP nos pidió que consideráramos la solución de la ecuación AR(1) cuando $X_t$ es estacionario.
