Black-Scholes: La sonrisa de la volatilidad se "agudiza" con el tiempo hasta el vencimiento

Question

He intentado calcular el IV y el log-moneyness (=log(S/K)) para diferentes tiempos de vencimiento (M = menos de 1 mes, Q = menos de 1 trimestre, S = menos de 1/2 año, Y = menos de 1 año, Y (+) = más de 1 año). Haciendo esto, he trazado la sonrisa IV para las opciones de compra:

Fíjese en que la sonrisa del IV parece "agudizarse" cuando las opciones se acercan al vencimiento. En otras palabras: Pequeños cambios en el log-moneyness implican grandes cambios en el IV cuando la opción está más cerca del vencimiento, pero ¿por qué?

Siguiendo la sugerencia de @will de dividir el logaritmo del dinero por sqrt(T) se obtiene una sonrisa de volatilidad muy bonita. ¿Alguien podría explicar por qué esto es así?

Answer 1

Puedes echar un vistazo al artículo "The smile in stochastic volatility models" de Bergomi y Guyon. En el apéndice B del documento, derivan que si asumimos una dinámica general, entonces el sesgo es proporcional a la asimetría de la distribución terminal del subyacente dividida por $\sqrt{T}$ .

Answer 2

El sqrt(T) es un factor de anualización. Conceptualmente es el equivalente a comparar un tipo de interés a un mes con un tipo de interés a un año. Si no se convierte en un APY o rendimiento porcentual anualizado, entonces se obtendrían tipos de interés bajos para 1 mes porque hay muy poco tiempo. Por ejemplo, un tipo de interés a 1 mes del 1% se convertiría en un ~12% (a efectos de este ejemplo, obviamente no compuesto).

Lo mismo ocurre en el espacio de la volatilidad. Dada una volatilidad del N%, se esperaría un rango de resultados en un mes que podría ser, digamos, del 0,25 subyacente a lo ancho. La misma volatilidad durante 12 meses sería mucho más amplia. Si se trata de una distribución normal, sería el 0,25 subyacente/cuadrado(T).

Esto es válido para las huelgas. Si una acción fuera 100 con una volatilidad del 16%, se esperaría un movimiento de alrededor del 1% por día como un movimiento de desviación estándar (usando 256 días por año para que sqrt(T) sea 16). El cálculo es vol*subyacente/cuadrado(T). En un año, se espera una desviación estándar del 16%. Así que una opción con una desviación estándar de un día estaría a 1 del precio actual y a 16 para una opción de un año. Para comparar adecuadamente la volatilidad implícita, se querría comparar el 1 con el 16, ya que están equivalentemente lejos en términos de movimiento.