Dificultad con el problema de cálculo estocástico

Question

Actualmente estoy trabajando con el Volumen II de Shreve, y estoy teniendo algunas dificultades en el Ejercicio 5.4 del Capítulo 5. El enunciado del problema es:

Consideremos una acción cuyo diferencial de precio es $$ dS(t) = r(t) S(t) dt + \sigma(t)d \widetilde{W}(t) $$ donde $r(t)$ y $\sigma(t)$ son funciones no aleatorias de $t$ y $\widetilde{W}$ es un movimiento browniano bajo la medida de riesgo neutral $\widetilde{\mathbb{P}}$ . Dejemos que $T>0$ y considerar una llamada europea, cuyo valor en el momento cero es $$ c(0, S(0)) = \mathbb{E}\bigg[ \exp\bigg\{-\int_{0}^{T}r(s)\,ds\bigg\}(S(T)-K)^{+}\bigg].\quad\text{(Should be risk-neutral expectation $ \ de la que se ha hecho cargo el presidente de la Comisión Europea. $.)} $$

(i) Demuestre que $S(T)$ es de la forma $S(0)e^{X}$ , donde $X$ es una variable aleatoria normal, y determinar la media y la varianza de $X$ .

Intento de solución:

Quiero tomar alguna transformación de $S(t)$ Probablemente, la transformación logarítmica, aplicar el lema de Ito, y mostrar que el resultado es una variable aleatoria normal más un componente no aleatorio para la media.

Tenemos \begin{align*} d(\log S(t))& = \frac{1}{S(t)}\, dS(t) - \frac{1}{2 S^{2}(t)} \, dS(t)\,dS(t)\\ &= \frac{1}{S(t)}\bigg[ r(t)S(t)\,dt + \sigma(t)\,d\widetilde{W}(t)\bigg] - \frac{1}{2S^2(t)} \sigma^{2}(t)\,dt \end{align*} donde la última expresión resulta de las ecuaciones $dt\,dt = 0$ , $dt\,d\widetilde{W}(t) = 0$ y $d\widetilde{W}(t)\,d\widetilde{W}(t) = dt$ . Agrupando los términos con el mismo diferencial se obtiene $$ d(\log S(t)) = \bigg( r(t) - \frac{\sigma^{2}(t)}{2S^{2}(t)}\bigg) \,dt + \frac{\sigma(t)}{S(t)}\,d\widetilde{W}(t). $$ Si las integradas de ambas diferenciales fueran no aleatorias, este problema se resolvería ya que las integrales de Ito de integradas no aleatorias tienen una distribución normal. Sin embargo, el precio de las acciones $S(t)$ aparece en el denominador, y eso es aleatorio.

Estoy atascado aquí, así que si alguien pudiera darme una pista, sería muy apreciado.

Si la ecuación diferencial estocástica fuera $dS(t) = r(t)S(t)dt + \sigma(t)S(t)d\widetilde{W}(t)$ entonces este problema sería fácil, ya que el precio de las acciones sería un movimiento browniano geométrico con deriva y volatilidad no aleatorias. Sin embargo, he comprobado la página de erratas, y este problema no aparece en ellas.

Answer 1

Shreve titula la pregunta como " Fórmula de Black-Scholes_Merton para la variación del tiempo , tipo de interés no aleatorio y volatilidad ". Este modelo es bien conocido, por lo que no hay ambigüedad. La SDE debe ser $$S(t) = r(t)S(t)dt + \sigma(t) S(t) d \tilde W(t).$$