Bachelier modelo de opción de la llamada fórmula de fijación de precios

Question

¿Alguien tiene el Bachelier modelo de opción de la llamada fórmula de fijación de precios para $r > 0$?

Todas las referencias que he leído se asume que $r = 0$. Yo no hablo francés, así que no puedo leer Bachelier del original en papel.

Answer 1

Suponemos que, bajo el riesgo de neutro medida, los procesos de existencias $\{S_t, t \ge 0\}$ satisface el SDE de la forma \begin{align*} dS_t = r S_t dt + \sigma dW_t, \end{align*} donde $r$ es la tasa de interés constante, $\sigma$ es la constante volatilidad, y $\{W_t, t \ge 0\}$ es el movimiento Browniano estándar. De $0 \le t \le T$, \begin{align*} S_T = S_t e^{r(T-t)} + \sigma\int_t^T e^{i(T-s)}dW_s. \end{align*} Es decir, \begin{align*} S_T \mediados de S_t &\sim N\left(S_t e^{r(T-t)},\, \frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho) \derecho)\\ &\sim S_t e^{r(T-t)} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}\,\xi, \end{align*} donde $\xi$ es variable aleatoria normal estándar. Entonces \begin{align*} C_t &= e^{-r(T-t)}E\left(\left(S_T-K\derecho)^+ \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=e^{-r(T-t)}E\left(\left(S_t e^{r(T-t)} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}\,\xi-K\derecho)^+ \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=e^{-r(T-t)}\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}E\left(\left(\xi -\frac{K-S_t e^{r(T-t)}}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}}\right)^+ \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=e^{-r(T-t)}\left(S_t e^{r(T-t)}-K\derecho)\Phi\left(\frac{S_t e^{r(T-t)}-K}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}}\derecho) \\ &\qquad + e^{-r(T-t)}\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}\,\phi\left(\frac{S_t e^{r(T-t)}-K}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{2r}\left(e^{2r(T-t)}-1 \derecho)}}\derecho), \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar, y $\phi$ es la correspondiente función de densidad.

Comentarios

Deje que $K^*=e^{-r(T-t)}K,$ y $$v^2(t, T) = \frac{\sigma^2}{2r}\left(1-e^{-2r(T-t)}\right).$$ Entonces, podemos re-expresar el precio como \begin{align*} C_t &= \left(S_t-K^*\derecho)\Phi\left(\frac{S_t-K^*}{v(t, T)}\derecho) +v(t, T)\,\phi\left(\frac{S_t-K^*}{v(t, T)}\right). \end{align*} Véase también la Sección 3.3 del libro de Martingala Métodos de elaboración de modelos Financieros; sin embargo, tenga en cuenta que hay un par de erratas en este libro.

Otra posibilidad es suponer que \begin{align*} S_t = e^{rt}(S_0 + \sigma W_t). \end{align*} A continuación, el correspondiente precio de la opción puede ser igual obtenidos. Véase también el libro mencionado anteriormente.

Answer 2

Es muy simple de derivar con conocimientos básicos de cálculo estocástico. Pero ya que usted está buscando la respuesta fácil es este:

$$C_t=e^{-r(T-t)}\sigma\sqrt{T t} (D \Phi(D)+\phi(D))$$ donde $D=\frac{F_{t,T}-K}{\sigma \sqrt{T t}}$ y $\Phi(\cdot)$ y $\phi(\cdot)$ son, respectivamente, la normal cdf y pdf. $F_{t,T}=S_te^{r(T-t)}$ es el precio a futuro.

Answer 3

Usted podría querer diferenciar entre la tasa de crecimiento de la $\mu$ y la tasa de descuento $r$.

@Gordon solución es la más lógica, dada la pregunta. Sin embargo, en la práctica, no es raro modelo de proceso $F$ en lugar de los activos irregular proceso $S$. Curiosamente, a diferencia de en el Black-Scholes caso, el proceso y el irregular proceso no tienen la misma volatilidad en el Bachelier modelo.

@NSZ la solución de cantidades de asumir un proceso lognormal $$dF = \sigma dW$$ con una tasa de crecimiento $\mu$ y $F(t,T) = S(t) e^{\mu(T-t)}$.

Aplicamos el Lema de Ito a $f(t,F) = F e^{\mu(t-T)}$ a obtener en términos de $S$: $$dS = \mu S dt + \sigma e^{\mu(t-T)} dW\,.$$

Bajo el modelo hacia adelante, la opción call de precio con un desplazamiento se obtiene a partir de la norma Bachelier precio de la opción: $$ C(t,T) = e^{-r (T-t)} \left[ (F-K) \Phi\left(\frac{F-K}{\sigma\sqrt{T t}}\derecho) + \sigma\sqrt{T t} \phi\left(\frac{F-K}{\sigma\sqrt{T t}}\right)\right]\,,$$ donde $\Phi$ es el acumulativa normal de la función de distribución de y $\phi$ es el normal de la función de densidad de probabilidad, y $F=F(t,T)=S(t)e^{\mu (T-t)}$.