Distribución y parámetros de la cantidad en el momento T de Bond

Question

Un inversor sigue la siguiente estrategia de inversión de un tiempo t a otro T: compra un bono cupón cero a 10 años, lo mantiene durante un tiempo dt, lo vende y compra un nuevo bono cupón cero a 10 años con los ingresos. El proceso se repite continuamente. Deduzca la distribución y los parámetros de la cantidad en el momento T si comienza con un valor de 1

No estoy muy seguro de por dónde se va a empezar en esta cuestión

Answer 1

Aquí tienes una versión más sencilla que puedes generalizar a tu problema. Tal y como se indica en la pregunta, el precio de un bono ZC con vencimiento T está relacionado con el tipo de interés a corto plazo de la siguiente manera:

$P\left(t,T\right)=e^{a\left(t,T\right)- b\left(t,T\right)\, r_t} $

Que es esencialmente una expresión de esta forma (suponiendo t y T dados):

$P\left(r\right)=Ae^{-rB}$

Usted sabe que r bajo el Vasicek sigue una distribución normal, por lo que es esencialmente después de la determinación de la densidad de la exponencial de una normal, usted sabe que el resultado será log normal, pero en términos de los pasos para llegar allí, usted puede utilizar la fórmula de transformación de la densidad para una función monótona de una variable aleatoria:

$f_p(p)=f_r (P^{-1}(p)) \left| \frac{dr}{dp} \right|$

Puedes calcular la inversa y la derivada de r con respecto a P fácilmente:

$P(r)=A e^{-r B}=p \quad \Rightarrow r=-\frac{1}{B}ln \frac{p}{A} =P^{-1}(p), \mbox{ and } \frac{dr}{dp}= -\frac{1}{Bp}$

Y entonces puedes introducirlos en la fórmula de transformación de la densidad para obtener:

$f_p(p)= f_r \left( -\frac{1}{B}ln \frac{p}{A} \right) \frac{1}{Bp}$

Sólo hay que introducir la densidad de r, que es $f_r$ y se tiene la densidad de P.